Relacione cada equação diferencial com sua família de soluções.
(a) x \frac{d y}{d x}=y \qquad (i) y=x^{2}+C
(b) y^{\prime \prime}=4 y \qquad
(c) \frac{d y}{d x}=2 x \qquad
(d) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-4 y \qquad (ii) y=C_{1} \sin 2 x+C_{2} \cos 2 x
(iii) y=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-2 x} (iv) $y=C x

Passo 1

O enunciado nos dá quatro equações diferenciais
(a) x\,\frac{dy}{dx}=y, (b) y''=4y, (c) \frac{dy}{dx}=2x e (d) y''=-4y
e quatro famílias de soluções (i)–(iv). Vamos resolver cada EDO e ver a qual família cada solução pertence.

Passo 2

Para (a) x\,\frac{dy}{dx}=y separemos variáveis:
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}.
Integrando,
\ln|y|=\ln|x|+C_1 \quad\Longrightarrow\quad y=C\,x,
que coincide com a forma (iv).

Passo 3

Para (b) y''=4y usamos a equação característica:
r^2-4=0 \quad\Longrightarrow\quad r=\pm2.
Logo a solução geral é
y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x},
que é exatamente a forma (iii).

Passo 4

Para (c) \frac{dy}{dx}=2x integramos diretamente:
y=\int 2x\,dx = x^2 + C,
o que coincide com a forma (i).

Passo 5

Para (d) y''=-4y a equação característica é
r^2+4=0 \quad\Longrightarrow\quad r=\pm2i.
Daí a solução geral fica
y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x),
que é a forma (ii).

Resposta

(a)–(iv)
(b)–(iii)
(c)–(i)
(d)–(ii)

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