Dê uma solução para x^2 y^prime+2 x y=0 com y(1)=2.
(note que o lado esquerdo da equação é a derivada de um produto de duas funções).

Passo 1

Temos a equação diferencial x^2y'+2xy=0 com a condição y(1)=2. O conteúdo envolve reconhecer a parte esquerda como derivada de um produto, então vamos usar a regra do produto para resolver.

Passo 2

Observando a regra do produto, sabemos que
ddx(x^2y)=x^2y'+2xy,
logo a equação dada pode ser reescrita como
ddx(x^2y)=0

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integralddx(x^2y),dx=integral0,dximplies x^2y=C,
onde C é a constante de integração.
Isolando y temos
y=Cx^2

Passo 4

Para encontrar C, aplicamos a condição inicial y(1)=2:
substituindo x=1 e y=2 em y=Cx^2 resulta em
2=C1^2implies C=2

Passo 5

Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y=2x^2

Resposta

y(x)=2x^2

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