Resolva as equações:
d^4 yd x^4-d^3 yd x^3+9 d^2 yd x^2-9 d yd x=0

Passo 1

Enunciado e estratégia: a equação diferencial dada é
d^4ydx^4 - d^3ydx^3 + 9d^2ydx^2 - 9dydx = 0
Trata-se de uma EDO linear homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Ao derivar repetidamente e substituir na EDO, cada derivada traz um fator r, gerando o polinômio característico:
$$
r^{4} - r^{3} + 9r^{2} - 9r = 0$$

Passo 3

Fatoramos o polinômio característico para encontrar as raízes. Primeiro, colocamos r em evidência:
$$
r,(r^{3} - r^{2} + 9r - 9) = 0 r,(r^3 - r^2 + 9r - 9) = 0ú
r^{3} - r^{2} + 9r - 9 = (r - 1)(r^{2} + 9).$$

Passo 4

As raízes são r=0, r=1 e r=pm 3i.

Passo 5

Cada raiz dá uma solução fundamental:
  • Para r=0: y1=e^0x=1.
  • Para r=1: y2=e^x.
  • Para r=3i e r=-3i: as soluções são y3=cos(3x) e y4=sin(3x), usando a parte real e imaginária de e^3ix.

Passo 6

Como a EDO é homogênea e linear, a solução geral é a combinação linear das soluções fundamentais.

Resposta

y(x)=C1+C2e^x+C3cos(3x)+C4sin(3x)

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