Resolva as equações:
Passo 1
Enunciado e estratégia: a equação diferencial dada é
Trata-se de uma EDO linear homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Ao derivar repetidamente e substituir na EDO, cada derivada traz um fator
, gerando o polinômio característico:
$$
r^{4} - r^{3} + 9r^{2} - 9r = 0$$
Passo 3
Fatoramos o polinômio característico para encontrar as raízes. Primeiro, colocamos
em evidência:
$$
r,(r^{3} - r^{2} + 9r - 9) = 0
r^{3} - r^{2} + 9r - 9 = (r - 1)(r^{2} + 9).$$
Passo 4
As raízes são
,
e
.
Passo 5
Cada raiz dá uma solução fundamental:
- Para
: . - Para
: . - Para
e : as soluções são e , usando a parte real e imaginária de .
Passo 6
Como a EDO é homogênea e linear, a solução geral é a combinação linear das soluções fundamentais.