Resolva as equações de Riccati:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação de Riccati, que é um tipo de equação diferencial não linear. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma Equação de Riccati e conhecer uma técnica para solucioná-la.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar $ y’ $. Dividindo todos os termos por 6, ficamos com:
Isso simplifica para:
Passo 3
Equações de Riccati têm a forma geral:
No nosso caso, $ q_0(x) = \frac{1}{6} $, $ q_1(x) = -\frac{1}{6} $ e $ q_2(x) = -1 $.
Para resolver uma Equação de Riccati, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p $. Uma vez que tenhamos $ y_p $, podemos fazer uma substituição que transforma a equação de Riccati em uma equação linear, que é mais fácil de resolver.
Passo 4
Vamos tentar encontrar uma solução particular $ y_p $. Vamos supor que $ y_p $ seja constante, ou seja, $ y_p^{\prime} = 0 $.
Substituindo na equação:
Isso resulta em uma equação quadrática:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática para encontrar $ y_p $. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = \frac{1}{6} $ e $ c = -\frac{1}{6} $.
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:
- $ y_p = \frac{ -\frac{1}{6} + \frac{5}{6} }{2} = \frac{ \frac{4}{6} }{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
- $ y_p = \frac{ -\frac{1}{6} - \frac{5}{6} }{2} = \frac{ -\frac{6}{6} }{2} = \frac{ -1 }{2} $
Vamos escolher $ y_p = \frac{1}{3} $ para simplificar.
Passo 6
Com uma solução particular $ y_p = \frac{1}{3} $, fazemos a substituição:
Onde $ u $ é uma nova função que precisamos encontrar. Calculando a derivada de $ y $:
Passo 7
Substituindo $ y $ e $ y^{\prime} $ na equação original:
Calculando os termos:
Simplificando:
Então,
Isso significa que $ u $ é uma constante. Vamos chamar essa constante de $ C $.
Passo 8
Voltando à substituição $ y = \frac{1}{3} + \frac{1}{u} $, e sabendo que $ u = C $, temos:
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação de Riccati é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.