Resolva as equações de Riccati:
6 y^prime+6 y^2+y-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação de Riccati, que é um tipo de equação diferencial não linear. A equação que temos é:
6 y^prime + 6 y^2 + y - 1 = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma Equação de Riccati e conhecer uma técnica para solucioná-la.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar $ y’ $. Dividindo todos os termos por 6, ficamos com:
y'
Isso simplifica para:
y^prime + y^2 + 16y - 16 = 0

Passo 3

Equações de Riccati têm a forma geral:
y^prime = q0(x) + q1(x) y + q2(x) y^2
No nosso caso, $ q_0(x) = \frac{1}{6} $, $ q_1(x) = -\frac{1}{6} $ e $ q_2(x) = -1 $.
Para resolver uma Equação de Riccati, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p $. Uma vez que tenhamos $ y_p $, podemos fazer uma substituição que transforma a equação de Riccati em uma equação linear, que é mais fácil de resolver.

Passo 4

Vamos tentar encontrar uma solução particular $ y_p $. Vamos supor que $ y_p $ seja constante, ou seja, $ y_p^{\prime} = 0 $.
Substituindo na equação:
yp
Isso resulta em uma equação quadrática:
yp

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar $ y_p $. Usando a fórmula de Bhaskara:
yp
Onde $ a = 1 $, $ b = \frac{1}{6} $ e $ c = -\frac{1}{6} $.
Calculando o discriminante:
yp = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Então,
a = 1
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ y_p = \frac{ -\frac{1}{6} + \frac{5}{6} }{2} = \frac{ \frac{4}{6} }{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
  2. $ y_p = \frac{ -\frac{1}{6} - \frac{5}{6} }{2} = \frac{ -\frac{6}{6} }{2} = \frac{ -1 }{2} $
Vamos escolher $ y_p = \frac{1}{3} $ para simplificar.

Passo 6

Com uma solução particular $ y_p = \frac{1}{3} $, fazemos a substituição:
yp = 13
Onde $ u $ é uma nova função que precisamos encontrar. Calculando a derivada de $ y $:
y = yp + 1u

Passo 7

Substituindo $ y $ e $ y^{\prime} $ na equação original:
y
Calculando os termos:
y^prime
Simplificando:
-u^primeu^2 = -( 13 )^2 - 16 cdot 13 + 16
Então,
-u^primeu^2 = -19 - 118 + 16
Isso significa que $ u $ é uma constante. Vamos chamar essa constante de $ C $.

Passo 8

Voltando à substituição $ y = \frac{1}{3} + \frac{1}{u} $, e sabendo que $ u = C $, temos:
y = 13 + 1u
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação de Riccati é:
y = 13 + 1C
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados