Resolva as equações diferenciais.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(xcos(x+y)+sin(x+y)r),dx + xcos(x+y),dy = 0
que está na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, com
M(x,y)=xcos(x+y)+sin(x+y), N(x,y)=xcos(x+y)
O plano é testar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial psi(x,y) tal que partialpsi/partial x=M e partialpsi/partial y=N.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais
partial Mpartial y =partialpartial yl[xcos(x+y)+sin(x+y)r] =-xsin(x+y)+cos(x+y),
partial Npartial x =partialpartial xl[xcos(x+y)r] =cos(x+y)-xsin(x+y)
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar psi(x,y), integramos M em relação a x:
psi(x,y) =integrall[xcos(x+y)+sin(x+y)r],dx + phi(y)
Use u=x+yimplies du=dx e x=u-y, então
integral (u-y)cos u,du + integralsin u,du =integral ucos u,du - yintegralcos u,du + integralsin u,du
Sabendo que integral ucos u,du = usin u + cos u, integralcos u,du=sin u, integralsin u,du=-cos u, obtemos
usin u + cos u ;-; ysin u ;-;cos u =(u-y)sin u =xsin(x+y)
Logo
psi(x,y)=xsin(x+y)+phi(y)

Passo 4

Impondo partialpsi/partial y=N, temos
partialpsipartial y =xcos(x+y)+phi'(y) ;=;xcos(x+y)
Logo phi'(y)=0, ou seja, phi(y) é constante.

Passo 5

A solução implícita geral é
psi(x,y)=xsin(x+y)=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

xsin(x+y)=C

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