Resolva as equações diferenciais.
y d x+(y-x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y,dx + (y - x),dy = 0
Trata-se de uma equação de primeira ordem na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Verificamos que
My = partialpartial y(y) = 1, Nx = partialpartial x(y - x) = -1,
portanto não é exata. Como M e N são homogêneos de grau 1, vamos usar a substituição homogênea
y = v x

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, dividimos por dx:
y + (y - x),dydx = 0 Longrightarrow dydx = -y,y - x,

Passo 3

Com y = v x temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo em dydx = -yy-x
v + xdvdx = -v xv x - x = -vv - 1

Passo 4

Isolamos dv/dx e separamos as variáveis:
xdvdx = -vv-1 - v = -v^2v-1 Longrightarrow v-1v^2,dv = -dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral!l(1v-1v^2r),dv = -integraldxx ;Longrightarrow; ln|v| + 1v = -ln|x| + C

Passo 6

Voltando a v=y/x e juntando os logs:
ln!l|tfracyxr| + xy + ln|x| = C Longrightarrow ln|y| + xy = C

Resposta

A solução implícita geral é
ln|y| + xy = C,
ou, equivalente,
y,e^x/y = K,
com C e K=e^C constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados