Seja
f(x, y)=ll sen x yx y & se x y neq 0 1 & se x y=0
f(x, y)=l 0 se y<0 or y>x^4 1 se 0<y<x^4
(a) Mostre que f(x, y) 0 quando (x, y) (0,0) por qualquer caminho da forma y=m x^a passando por (0,0) com a<4.
(b) Mostre que f é descontínua em duas curvas inteiras.
(c) Independentemente do item (a), mostre que f é descontinua cm (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
Pede-se
(a) mostrar que com e ;
(b) provar que é descontínua em cada ponto das curvas inteiras e ;
(c) concluir que é descontínua em .

Passo 2

Se y=m,x^a com m>0 e a<4, então para xneq0 suficientemente pequeno
yx^4 ;=; m,x^a-4;longrightarrow;+infty (pois a-4<0),
logo para lvert xrvert pequeno temos y>x^4 e, por definição,
fl(x,mx^ar)=0
Portanto limxto0f(x,mx^a)=0.

Passo 3

Para mostrar descontinuidade em qualquer ponto da curva y=0, estendemos naturalmente a definição de f por continuidade interna e tomamos f(x,0)=0 sempre que xneq0. Nesse ponto
f(x,0)=0,
mas se aproximarmos (x,y)to(x,0^+) mantendo 0<y<x^4, então f(x,y)=1 e
limyto0^+f(x,y)=1neq f(x,0)
Logo f é descontínua em toda a reta y=0setminus0.

Passo 4

De modo análogo, estendendo a definição para y=x^4 por f(x,x^4)=0, fixamos xneq0. Aí
f(x,x^4)=0,
porém se aproximarmos (x,y)to(x,x^4-) com 0<y<x^4 obtemos f(x,y)=1 e
limyto x^4-f(x,y)=1neq f(x,x^4)
Portanto f é descontínua em toda a curva y=x^4setminus0.

Passo 5

Para ver que f é descontínua em (0,0) basta dois caminhos com limites distintos. Por exemplo:
(i) (x,y)=(x,tfrac12x^4)implies 0<y<x^4implies f=1 Longrightarrow limxto0fl(x,tfrac12x^4r)=1;
(ii) (x,y)=(x,-x^5)implies y<0implies f=0 Longrightarrow limxto0f(x,-x^5)=0
Como os limites são diferentes, não existe lim(x,y)to(0,0)f(x,y), logo f é descontínua em (0,0).

Resposta

(a) Em todo caminho y=m,x^a com a<4 temos lim f=0.
(b) f é descontínua nos pontos de y=0 e de y=x^4.
(c) f é descontínua em (0,0).

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