Resolva as equações diferenciais abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que diz que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ e^{x} $. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais, que nos ajuda a encontrar funções desconhecidas quando sabemos como elas mudam. Para resolver, vamos precisar usar integração, que é o processo inverso da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação $ \frac{dy}{dx} = e^{x} $ significa. Ela nos diz que a taxa de variação de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ e^{x} $. Para encontrar $ y $, precisamos “desfazer” a derivada, ou seja, integrar ambos os lados da equação.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
Do lado esquerdo, a integral da derivada de $ y $ em relação a $ x $ simplesmente nos dá $ y $:
Passo 4
Em seguida, vamos resolver a integral de $ e^{x} $:
Aqui, $ C $ é a constante de integração, que aparece porque a integral indefinida pode ter várias soluções que diferem por uma constante.
Passo 5
Então, substituindo de volta na nossa equação, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é $ y = e^{x} + C $, onde $ C $ é uma constante.