O gerente de uma sapataria observa que o preço p (em reais) de um par de sapatos de uma marca popular varia a uma taxa de dpdx=-300 xraiz(x^2+9)^3 quando x centenas de centenas de pares são demandados (comprados), pelos consumidores. Quando o preço do par é R pares pares são demandados pelos consumidores.
Qual é o preço para o qual a demanda é 500 pares? Qual é o preço acima do qual a demanda é zero?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação do preço p em função da demanda x, com dfracdpdx = -dfrac300x(x^2+9)^3/2. Quando x=4 (400 pares) temos p=75. Precisamos achar a função p(x) integrando essa taxa e depois obter p(5) (500 pares) e o valor de p(0) (demanda zero).

Passo 2

Vamos integrar a equação diferencial. Fazendo u = x^2+9, temos du = 2x,dx e
integral -300x(x^2+9)^3/2,dx = -150integral u^-3/2,du = -150cdotl(-2u^-1/2r) = 300u^-1/2 + C

Passo 3

Substituindo de volta u = x^2+9, obtemos
p(x) = 300raizx^2+9 + C

Passo 4

Usando a condição p(4)=75, temos
75 = 300raiz4^2+9 + C = 3005 + C = 60 + C implies C = 15

Passo 5

Logo
p(x)=300raizx^2+9 + 15

Passo 6

Para 500 pares basta pôr x=5:
p(5)=300raiz25+9 + 15 = 300raiz34 +15approx 66.44

Passo 7

Para demanda zero usamos x=0:
p(0)=300raiz9 +15 = 100+15 = 115

Resposta

Para demanda de 500 pares, o preço é aproximadamente R$66.44. O preço acima do qual a demanda é zero é R$115.00.

Exercícios relacionados