Resolva as equações diferenciais abaixo:
ld yd x=x^2 y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ x^2 $, ou seja:
y
Além disso, sabemos que quando $ x = 0 $, $ y = 1 $. Isso é uma condição inicial. Nosso objetivo aqui é encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz essa equação e essa condição. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Sabemos que:
dydx = x^2
Para encontrar $ y $, precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
y
O lado esquerdo da equação simplifica para $ y $:
x
Agora, vamos calcular a integral de $ x^{2} $:
integral dydx , dx = integral x^2 , dx
Então, temos:
y
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituímos $ x = 0 $ e $ y = 1 $ na equação que encontramos:
y(0) = 1
Então, a constante $ C $ vale 1.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = x^33 + 1

Exercícios relacionados