Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é igual a $ x^2 $, ou seja:
Além disso, sabemos que quando $ x = 0 $, $ y = 1 $. Isso é uma condição inicial. Nosso objetivo aqui é encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz essa equação e essa condição. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Sabemos que:
Para encontrar $ y $, precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
O lado esquerdo da equação simplifica para $ y $:
Agora, vamos calcular a integral de $ x^{2} $:
Então, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituímos $ x = 0 $ e $ y = 1 $ na equação que encontramos:
Então, a constante $ C $ vale 1.
Resposta
A solução da equação diferencial é: