Questão 3. Determine a área da região no primeiro quadrante limitada à esquerda pelo eixo y, abaixo pela curva x^{2}=4 y, acima e à esquerda pela curva x=(y-1)^{2} \mathrm{e} acima e à direita pela reta x=3-y.
Passo 1
O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada por quatro curvas:
à esquerda pelo eixo x=0,
abaixo pela parábola x^{2}=4y (ou y=\tfrac{x^{2}}{4}),
acima-direita pela reta x=3-y (ou y=3-x),
acima-esquerda pela parábola invertida x=(y-1)^{2}.
O método será dividir a região em duas faixas de y, encontrar para cada faixa as fronteiras em x e então integrar em y para obter a área.
Passo 2
Determinar pontos de interseção que fecham a região:
Interseção da parábola y=\tfrac{x^{2}}{4} com a reta x=3-y.
Substituindo y=x^{2}/4 em x=3-y dáx = 3 - \frac{x^{2}}{4} \;\Longrightarrow\; x^{2} +4x -12 =0 \;\Longrightarrow\; x=2\quad(\text{raiz positiva}),e então y = 2^{2}/4 =1. Ponto (2,1).
Interseção da reta x=3-y com a curva x=(y-1)^{2}.
Igualando 3-y=(y-1)^{2} obtém-sey^{2}-2y+1 = 3 - y \;\Longrightarrow\; y^{2}-y-2=0 \;\Longrightarrow\; y=2\quad(\text{no 1.º quadrante}),e daí x=3-2=1. Ponto (1,2).
A curva x=(y-1)^{2} encontra o eixo x=0 em y-1=0, i.e.\ em (0,1).
A parábola y=x^{2}/4 encontra o eixo x=0 em (0,0).
Esses quatro vértices (0,0)\to(2,1)\to(1,2)\to(0,1)\to(0,0) fecham a região.
Passo 3
Para 0\le y\le1:
A fronteira inferior (em y) é o próprio valor y.
A fronteira em x à esquerda é o eixo x=0.
A fronteira em x à direita vem de resolver y = x^{2}/4, i.e.\ x = 2\sqrt{y}.
Logo, nessa faixa