Questão 3. Determine a área da região no primeiro quadrante limitada à esquerda pelo eixo y, abaixo pela curva x^{2}=4 y, acima e à esquerda pela curva x=(y-1)^{2} \mathrm{e} acima e à direita pela reta x=3-y.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada por quatro curvas:
  • à esquerda pelo eixo x=0,
  • abaixo pela parábola x^{2}=4y (ou y=\tfrac{x^{2}}{4}),
  • acima-direita pela reta x=3-y (ou y=3-x),
  • acima-esquerda pela parábola invertida x=(y-1)^{2}.
    O método será dividir a região em duas faixas de y, encontrar para cada faixa as fronteiras em x e então integrar em y para obter a área.

Passo 2

Determinar pontos de interseção que fecham a região:
  1. Interseção da parábola y=\tfrac{x^{2}}{4} com a reta x=3-y.
    Substituindo y=x^{2}/4 em x=3-y x = 3 - \frac{x^{2}}{4} \;\Longrightarrow\; x^{2} +4x -12 =0 \;\Longrightarrow\; x=2\quad(\text{raiz positiva}),e então y = 2^{2}/4 =1. Ponto (2,1).
  2. Interseção da reta x=3-y com a curva x=(y-1)^{2}.
    Igualando 3-y=(y-1)^{2} obtém-se y^{2}-2y+1 = 3 - y \;\Longrightarrow\; y^{2}-y-2=0 \;\Longrightarrow\; y=2\quad(\text{no 1.º quadrante}),ºe daí x=3-2=1. Ponto (1,2).
  3. A curva x=(y-1)^{2} encontra o eixo x=0 em y-1=0, i.e.\ em (0,1).
  4. A parábola y=x^{2}/4 encontra o eixo x=0 em (0,0).
Esses quatro vértices (0,0)\to(2,1)\to(1,2)\to(0,1)\to(0,0) fecham a região.

Passo 3

Para 0\le y\le1:
  • A fronteira inferior (em y) é o próprio valor y.
  • A fronteira em x à esquerda é o eixo x=0.
  • A fronteira em x à direita vem de resolver y = x^{2}/4, i.e.\ x = 2\sqrt{y}.
    Logo, nessa faixa
0 \;\le\; x \;\le\; 2\sqrt{y}.
A contribuição de área é
A_1 = \int_{y=0}^{1} \bigl(2\sqrt{y} - 0\bigr)\,dy.

Passo 4

Para 1\le y\le2:
  • A fronteira em x à esquerda vem de x=(y-1)^{2}.
  • A fronteira em x à direita vem de x=3-y.
    Logo, nessa faixa
(y-1)^{2} \;\le\; x \;\le\; 3-y.
A contribuição de área é
A_2 = \int_{y=1}^{2} \bigl[(3-y) - (y-1)^{2}\bigr]\,dy.

Passo 5

Calcular A_1 e A_2:
A_1 = \int_{0}^{1} 2y^{1/2}\,dy = 2\cdot \frac{2}{3}\,y^{3/2}\Big|_{0}^{1} = \frac{4}{3}.
Para A_2, expande-se o integrando:
(3-y) - (y-1)^{2} = 3 - y -\bigl(y^{2}-2y+1\bigr) = -y^{2}+y+2.
Logo
A_2 = \int_{1}^{2} \bigl(-y^{2}+y+2\bigr)\,dy = \Bigl[-\tfrac{y^{3}}{3} + \tfrac{y^{2}}{2} +2y\Bigr]_{1}^{2} = \frac{7}{6}.

Passo 6

A área total é
A = A_1 + A_2 = \frac{4}{3} + \frac{7}{6} = \frac{8}{6} + \frac{7}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{5}{2}.

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