Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial x^2dx+2y,dy=0 com a condição y(0)=2. Precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação diferencial de variáveis separáveis.

Passo 2

Reorganizamos a equação diferencial para separar as variáveis x e y. Podemos escrever:
2y,dy = -x^2,dx
Agora integramos ambos os lados da igualdade para obter a solução geral. Temos:
integral 2y,dy = integral -x^2,dx
As integrais ficam
y^2 = -x^33 + C
onde C é a constante de integração. Esse é o formato implícito da solução geral.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=2 para determinar C. Substituindo x=0 e y=2 na expressão acima:
(2)^2 = -0^33 + C Rightarrow 4 = C
Portanto, a solução implícita com a constante ajustada é
y^2 = 4 - x^33
Por fim, isolamos y e escolhemos o sinal que satisfaz y(0)=2>0. Assim,
y(x) = raiz4 - x^33

Resposta

y(x)=raiz4-x^33

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