Resolva as equações diferenciais abaixo, utilizando a transformada de Laplace:
, com
.
Passo 1
O enunciado pede que se resolva a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea usando a transformada de Laplace. Dados do problema:
- Equação:
- Condições iniciais:
O que precisamos encontrar é a função
que satisfaz a equação e as condições iniciais, usando a técnica da transformada de Laplace.
Passo 2
Lembrete das fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- A transformada de Laplace de uma função
será denotada por . - Transformadas de derivadas (essas são cruciais para transformar a EDO em uma equação algébrica):
Aqui
é a variável da transformada e
aparecem porque a transformada “lembra” as condições iniciais.
- Transformada de um polinômio: para
vale Em particular .
Passo 3
Aplicar
à equação toda, termo a termo. Começando pela esquerda:
Substituindo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
:
Passo 4
Simplificar a expressão obtida. Primeiro agrupar os termos que multiplicam
e os termos livres:
Como
, passando esse termo para o lado direito obtemos:
Passo 5
Isolar
:
Fato útil: o denominador quadrático fatora-se facilmente:
Então escrevemos
A ideia agora é decompor em frações parciais que correspondem a termos cuja transformada inversa conhecemos.
Passo 6
Fazer a decomposição da primeira fração racional (essa parte dá a solução homogênea). Procuramos
tais que
Multiplicando pelos denominadores e avaliando em
e
:
- Para
: - Para
:
Portanto
Passo 7
Agora decompor a segunda fração
na forma
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Para achar coeficientes rápidos, avaliamos em pontos que anulam alguns fatores:
- Em
: - Em
: - Em
:
Restam
e
; podemos comparar coeficientes de potências de
(ou usar outros valores de
). Agrupando os termos em potências de
e usando os valores já encontrados resulta no sistema (omitindo os detalhes longos da expansão):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Substituindo
,
e
obtemos:
Assim temos todos os coeficientes:
Passo 8
Escrever a decomposição completa da segunda fração:
Passo 9
Somar as duas decomposições (a do Passo 6 e a do Passo 8) para obter
como soma de termos simples:
Simplificando os coeficientes:
Passo 10
Fazer a transformada inversa termo a termo usando a tabela básica:
Aplicando a
a cada termo de
:
Somando todos os termos obtemos a solução no domínio do tempo: