Resolva as equações diferenciais abaixo, utilizando a transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=4 x^{2}, com y(0)=1 ; y^{\prime}(0)=4.

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea usando a transformada de Laplace. Dados do problema:
  • Equação: y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=4x^{2}.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=4.
O que precisamos encontrar é a função y(x) que satisfaz a equação e as condições iniciais, usando a técnica da transformada de Laplace.

Passo 2

Lembrete das fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • A transformada de Laplace de uma função y(x) será denotada por \mathcal{L}\{y(x)\}=Y(s).
  • Transformadas de derivadas (essas são cruciais para transformar a EDO em uma equação algébrica): \mathcal{L}\{y'(x)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(x)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Aqui s é a variável da transformada e y(0),y'(0) aparecem porque a transformada “lembra” as condições iniciais.
  • Transformada de um polinômio: para x^{n} vale \mathcal{L}\{x^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.Em particular \mathcal{L}\{x^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}.

Passo 3

Aplicar \mathcal{L} à equação toda, termo a termo. Começando pela esquerda:
\mathcal{L}\{y''\}-\mathcal{L}\{y'\}-2\mathcal{L}\{y\}= \mathcal{L}\{4x^{2}\}.
Substituindo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=1,\\ y'(0)=4:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot 1 -4\bigr)-\bigl(sY(s)-1\bigr)-2Y(s)=4\cdot\frac{2}{s^{3}}.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida. Primeiro agrupar os termos que multiplicam Y(s) e os termos livres:
\bigl(s^{2}-s-2\bigr)Y(s)-s-4+1=\frac{8}{s^{3}}.
Como -s-4+1=-s-3, passando esse termo para o lado direito obtemos:
\bigl(s^{2}-s-2\bigr)Y(s)=s+3+\frac{8}{s^{3}}.

Passo 5

Isolar Y(s):
Y(s)=\frac{s+3}{s^{2}-s-2}+\frac{8}{s^{3}\bigl(s^{2}-s-2\bigr)}.
Fato útil: o denominador quadrático fatora-se facilmente:
s^{2}-s-2=(s-2)(s+1).
Então escrevemos
Y(s)=\frac{s+3}{(s-2)(s+1)}+\frac{8}{s^{3}(s-2)(s+1)}.
A ideia agora é decompor em frações parciais que correspondem a termos cuja transformada inversa conhecemos.

Passo 6

Fazer a decomposição da primeira fração racional (essa parte dá a solução homogênea). Procuramos A,B tais que
\frac{s+3}{(s-2)(s+1)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando pelos denominadores e avaliando em s=2 e s=-1:
  • Para s=2: 2+3=5= A(3)\Rightarrow A=\tfrac{5}{3}.
  • Para s=-1: -1+3=2= B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac{2}{3}.
    Portanto
\frac{s+3}{(s-2)(s+1)}=\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{s-2}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s+1}.

Passo 7

Agora decompor a segunda fração
\frac{8}{s^{3}(s-2)(s+1)}
na forma
\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s^{3}}+\frac{D}{s-2}+\frac{E}{s+1}.
Multiplicando ambos os lados por s^{3}(s-2)(s+1) obtemos a identidade polinomial
8=A s^{2}(s-2)(s+1)+B s (s-2)(s+1)+C (s-2)(s+1)+D s^{3}(s+1)+E s^{3}(s-2).
Para achar coeficientes rápidos, avaliamos em pontos que anulam alguns fatores:
  • Em s=0: 8=C\cdot(-2)(1)\Rightarrow C=-4.
  • Em s=2: 8=D\cdot 2^{3}\cdot(3)=24D\Rightarrow D=\tfrac{1}{3}.
  • Em s=-1: 8=E\cdot(-1)^{3}\cdot(-3)=3E\Rightarrow E=\tfrac{8}{3}.
Restam A e B; podemos comparar coeficientes de potências de s (ou usar outros valores de s). Agrupando os termos em potências de s e usando os valores já encontrados resulta no sistema (omitindo os detalhes longos da expansão):
  • Coeficiente de s^{4}: A+D+E=0.
  • Coeficiente de s^{1}: -2B-C=0.
Substituindo D=\tfrac{1}{3}, E=\tfrac{8}{3} e C=-4 obtemos:
A+\tfrac{1}{3}+\tfrac{8}{3}=0\Rightarrow A=-3,
-2B-(-4)=0\Rightarrow -2B+4=0\Rightarrow B=2.
Assim temos todos os coeficientes:
A=-3,\quad B=2,\quad C=-4,\quad D=\tfrac{1}{3},\quad E=\tfrac{8}{3}.

Passo 8

Escrever a decomposição completa da segunda fração:
\frac{8}{s^{3}(s-2)(s+1)}=-\frac{3}{s}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{4}{s^{3}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-2}+\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{s+1}.

Passo 9

Somar as duas decomposições (a do Passo 6 e a do Passo 8) para obter Y(s) como soma de termos simples:
Y(s)=\left(\frac{5}{3}+\frac{1}{3}\right)\frac{1}{s-2}+\left(-\frac{2}{3}+\frac{8}{3}\right)\frac{1}{s+1}-\frac{3}{s}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{4}{s^{3}}.
Simplificando os coeficientes:
Y(s)=\frac{2}{s-2}+\frac{2}{s+1}-\frac{3}{s}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{4}{s^{3}}.

Passo 10

Fazer a transformada inversa termo a termo usando a tabela básica:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{ax}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s}\}=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s^{2}}\}=x.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s^{3}}\}=\dfrac{x^{2}}{2}.
Aplicando a \mathcal{L}^{-1} a cada termo de Y(s):
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{2}{s-2}\}=2e^{2x}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{2}{s+1}\}=2e^{-x}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{-\dfrac{3}{s}\}=-3.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{2}{s^{2}}\}=2x.
  • \mathcal{L}^{-1}\{-\dfrac{4}{s^{3}}\}=-4\cdot\frac{x^{2}}{2}=-2x^{2}.
Somando todos os termos obtemos a solução no domínio do tempo:
y(x)=2e^{2x}+2e^{-x}-2x^{2}+2x-3.

Resposta

y(x)=2e^{2x}+2e^{-x}-2x^{2}+2x-3

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