Resolva as equações diferenciais abaixo e utilize o valor inicial para encontrar a solução particular do problema.
x y^prime+y=(x+1)^2 com y(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem x y' + y = (x + 1)^2 com a condição inicial y(1) = 2. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, precisamos identificar o fator integrante, que vai nos ajudar a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear: y' + P(x)y = Q(x). Para isso, dividimos toda a equação por x:
y' + 1xy = (x + 1)^2x
Aqui, P(x) = 1x e Q(x) = (x + 1)^2x.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( mu(x)), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 1x dx = e^ln|x| = x
Então, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x:
x cdot y' + y = (x + 1)^2
Perceba que voltamos à equação original, mostrando que já tínhamos um fator integrante implícito. Mas para seguir adiante, vamos reescrever usando o fator integrante:
ddx(y cdot mu(x)) = mu(x) cdot Q(x)
ddx(y cdot x) = (x + 1)^2

Passo 4

Integrando ambos os lados para encontrar y cdot x:
integral ddx(y cdot x) dx = integral (x + 1)^2 dx
y cdot x = integral (x^2 + 2x + 1) dx = x^33 + x^2 + x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, isolamos y:
y = x^33 + x^2 + x + Cx = x^33x + x^2x + xx + Cx = x^23 + x + 1 + Cx
Simplificando:
y = x^23 + x + 1 + Cx

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1) = 2 para encontrar C:
2 = 1^23 + 1 + 1 + C1
2 = 13 + 2 + C
2 = 73 + C
C = 2 - 73 = 63 - 73 = -13

Resposta

A solução particular da equação é:
y = x^23 + x + 1 - 13x

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