Resolva as equações diferenciais abaixo e utilize o valor inicial para encontrar a solução particular do problema.
com
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem
com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, precisamos identificar o fator integrante, que vai nos ajudar a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
. Para isso, dividimos toda a equação por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Então, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que voltamos à equação original, mostrando que já tínhamos um fator integrante implícito. Mas para seguir adiante, vamos reescrever usando o fator integrante:
Passo 4
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, isolamos
:
Simplificando:
Passo 6
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução particular da equação é: