Um caminhante aleatório começa na posição x=0 e dá 7 passos. A cada passo, ele se move uma unidade para a direita (l=+1) ou para a esquerda (l=-1), com igual probabilidade. Quais são todas as posições finais possíveis do caminhante após 2 passos? Qual a probabilidade de ele retornar à posição inicial x=0 ?

Passo 1

O enunciado fala de um passeio aleatório no qual o caminhante parte de x=0 e dá 2 passos, cada um valendo +1 (direita) ou –1 (esquerda) com probabilidade 1/2. Vamos usar contagem de combinações e a definição de probabilidade em espaço equiprovável.

Passo 2

Para achar as posições finais possíveis após 2 passos, note que cada passo é +1 ou –1. A posição final é x=l₁+l₂, onde l₁,l₂∈{+1,−1}. Listando: se ambos forem +1, x=2; se um for +1 e outro −1 (em qualquer ordem), x=0; se ambos forem −1, x=−2. Logo, as posições possíveis são –2, 0 e +2.

Passo 3

Para calcular a probabilidade de retornar à origem x=0, precisamos ter um +1 e um −1 em qualquer ordem. Há 2 passos e 2ⁿ=2²=4 sequências possíveis: (±,±). Dessas, só 2 levam a x=0: (+1,−1) e (−1,+1). Cada sequência tem probabilidade (1/2)·(1/2)=1/4. Assim,
o número de casos favoráveis é 2 e o total é 4, então
P(retornar a x=0 em 2 passos) = 2/4 = 1/2.

Resposta

Posições possíveis: −2, 0 e +2. Probabilidade de retorno a x=0 = 1/2.

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