Resolva as equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária dada:
Informações/questões que o enunciado nos dá:
- A equação envolve
. - A equação é válida para
onde as expressões estão definidas (observa-se porque aparece no lado esquerdo). - O que se quer: encontrar a solução geral
(ou soluções particulares singulares, se existirem).
Passo 2
Vamos reescrever a equação em uma forma que permita identificar um método:
Dividindo ambos os lados por
(lembrando que isso só faz sentido para
):
Repare que os termos do lado direito podem ser escritos em potências de
. Isso sugere a substituição padrão para equações “homogêneas” de primeira ordem: definir
Essa escolha costuma simplificar porque “coloca” a dependência em função de
e de
de forma separável.
Passo 3
Calcule
em função de
e
. Como
,
Substituindo
e
na equação original:
Desenvolvendo o lado direito:
Divida tudo por
(novamente
):
Isolando
:
Portanto
Passo 4
Agora a equação para
é separável. Escrevemos:
Integramos ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
Multiplicando por
e comparando coeficientes:
Assim obtemos o sistema:
,
,
. Logo
,
,
. Portanto
Integramos:
As integrais são elementares:
onde
é constante de integração. Assim
Passo 5
Multiplicando a igualdade por
:
onde
. A combinação de logaritmos no lado esquerdo pode ser escrita como um único logaritmo:
Exponenciando ambos os lados (e absorvendo
numa constante positiva
):
com
constante. Agora resolvemos para
:
Se
,
Lembrando que
, obtemos para
:
Portanto
onde
é constante de integração arbitrária (pode ser zero, positivo ou negativo, mas a condição de validade exige
e
, além de o argumento da raiz ser não negativo quando se busca solução real).
Há também a solução singular
. Ela surge porque
satisfaz a equação original identicamente e corresponde ao caso
na expressão acima (já que para
temos
e
).