Resolva as equações diferenciais abaixo.
2 x^{3} y^{\prime}=y\left(y^{2}+3 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária dada:
2 x^{3} y^{\prime}=y\left(y^{2}+3 x^{2}\right).
Informações/questões que o enunciado nos dá:
  • A equação envolve y'= \dfrac{dy}{dx}.
  • A equação é válida para x onde as expressões estão definidas (observa-se x\neq 0 porque aparece x^{3} no lado esquerdo).
  • O que se quer: encontrar a solução geral y(x) (ou soluções particulares singulares, se existirem).

Passo 2

Vamos reescrever a equação em uma forma que permita identificar um método:
2 x^{3}\frac{dy}{dx}=y\bigl(y^{2}+3x^{2}\bigr).
Dividindo ambos os lados por 2x^{3} (lembrando que isso só faz sentido para x\neq 0):
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{3}}{2x^{3}}+\frac{3y}{2x}.
Repare que os termos do lado direito podem ser escritos em potências de \dfrac{y}{x}. Isso sugere a substituição padrão para equações “homogêneas” de primeira ordem: definir
u=\frac{y}{x}\quad\text{ou seja}\quad y= u x.
Essa escolha costuma simplificar porque “coloca” a dependência em função de u e de x de forma separável.

Passo 3

Calcule y' em função de u e x. Como y=ux,
\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.
Substituindo y e \dfrac{dy}{dx} na equação original:
2x^{3}\bigl(u+xu'\bigr)= (ux)\bigl((ux)^{2}+3x^{2}\bigr).
Desenvolvendo o lado direito:
2x^{3}u+2x^{4}u' = ux\bigl(u^{2}x^{2}+3x^{2}\bigr)= ux\cdot x^{2}(u^{2}+3)= u x^{3}(u^{2}+3).
Divida tudo por x^{3} (novamente x\neq 0):
2u+2xu' = u(u^{2}+3).
Isolando xu':
2xu' = u(u^{2}+3)-2u = u(u^{2}+1).
Portanto
u'=\frac{u(u^{2}+1)}{2x}.

Passo 4

Agora a equação para u(x) é separável. Escrevemos:
\frac{du}{u(u^{2}+1)}=\frac{dx}{2x}.
Integramos ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
\frac{1}{u(u^{2}+1)}=\frac{A}{u}+\frac{Bu+C}{u^{2}+1}.
Multiplicando por u(u^{2}+1) e comparando coeficientes:
1 = A(u^{2}+1)+(Bu+C)u = (A+B)u^{2}+Cu+(A).
Assim obtemos o sistema: A+B=0, C=0, A=1. Logo A=1, B=-1, C=0. Portanto
\frac{1}{u(u^{2}+1)}=\frac{1}{u}-\frac{u}{u^{2}+1}.
Integramos:
\int\left(\frac{1}{u}-\frac{u}{u^{2}+1}\right)du = \int\frac{dx}{2x}.
As integrais são elementares:
\int\frac{1}{u}\,du=\ln|u|,\qquad \int\frac{u}{u^{2}+1}\,du=\frac{1}{2}\ln\bigl(u^{2}+1\bigr),
\int\frac{dx}{2x}=\frac{1}{2}\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Assim
\ln|u|-\frac{1}{2}\ln\bigl(u^{2}+1\bigr)=\frac{1}{2}\ln|x|+C.

Passo 5

Multiplicando a igualdade por 2:
2\ln|u|-\ln\bigl(u^{2}+1\bigr)=\ln|x|+C_{1},
onde C_{1}=2C. A combinação de logaritmos no lado esquerdo pode ser escrita como um único logaritmo:
\ln\!\left(\frac{u^{2}}{u^{2}+1}\right)=\ln|x|+C_{1}.
Exponenciando ambos os lados (e absorvendo e^{C_{1}} numa constante positiva K):
\frac{u^{2}}{u^{2}+1}=Kx,
com K constante. Agora resolvemos para u^{2}:
u^{2}=Kx\bigl(u^{2}+1\bigr)=Kx\,u^{2}+Kx \quad\Rightarrow\quad u^{2}(1-Kx)=Kx.
Se 1-Kx\neq 0,
u^{2}=\frac{Kx}{1-Kx}.
Lembrando que u=\dfrac{y}{x}, obtemos para y^{2}:
y^{2}=x^{2}u^{2}=x^{2}\cdot\frac{Kx}{1-Kx}=\frac{Kx^{3}}{1-Kx}.
Portanto
y=\pm x\sqrt{\frac{Kx}{1-Kx}},
onde K é constante de integração arbitrária (pode ser zero, positivo ou negativo, mas a condição de validade exige x\neq 0 e 1-Kx\neq 0, além de o argumento da raiz ser não negativo quando se busca solução real).
Há também a solução singular y\equiv 0. Ela surge porque y=0 satisfaz a equação original identicamente e corresponde ao caso K=0 na expressão acima (já que para K=0 temos u=0 e y=0).

Resposta

y\equiv 0
y=\pm x\sqrt{\dfrac{Kx}{1-Kx}},\quad onde K é constante de integração e as condições de validade são x\neq 0, 1-Kx\neq 0 e \dfrac{Kx}{1-Kx}\ge 0 (para solução real).

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