Resolva as seguintes equações diferenciais de
ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral. Informações relevantes fornecidas:
- A equação está dada em termos de
. - Podemos reescrever a equação em forma diferencial multiplicando por
: .
A partir daqui vamos procurar uma técnica que permita integrar essa equação e obter a família de soluções.
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão de uma 1-forma diferencial:
Defino
e
. Vou testar se a equação é exata: uma equação
é exata quando
Calculo as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
e a solução geral será
com
constante.
Passo 3
Para encontrar
integro
em relação a
, tratando
como constante:
Faço a integral termo a termo:
Portanto, após integrar em
obtenho
onde
é uma função arbitrária de
(aparece porque a integração em
permite uma “constante” que depende de
).
Passo 4
Agora imponho que
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Igualando ao
:
Integro
em relação a
:
A constante que aparece aqui pode ser absorvida depois em
, então tomo
.
Passo 5
Substituo
na expressão para
. Assim
A solução implícita geral da equação diferencial exata é
ou seja
onde
é constante arbitrária. Posso fazer uma verificação rápida diferenciando implicitamente essa igualdade para checar que recupero a equação original:
diferenciando em ,
diferenciando em
isolo
:
que é exatamente a equação dada, portanto a solução está correta.
Passo 6
Se for desejado expressar
explicitamente em função de
, trata-se de uma equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara para
,
onde a escolha do sinal e o domínio vêm da condição de que o discriminante seja não negativo.