Resolva as seguintes equações diferenciais de 1{ }^{\text {a }} ordem.
y^{\prime}=-\frac{2 x y+1}{x^{2}+2 y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y'=-\frac{2 x y+1}{x^{2}+2 y}
e pede a solução geral. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está dada em termos de y'= \dfrac{dy}{dx}.
  • Podemos reescrever a equação em forma diferencial multiplicando por dx: (x^{2}+2y)\,dy + (2xy+1)\,dx = 0.
    A partir daqui vamos procurar uma técnica que permita integrar essa equação e obter a família de soluções.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão de uma 1-forma diferencial:
(2xy+1)\,dx + (x^{2}+2y)\,dy = 0.
Defino M(x,y)=2xy+1 e N(x,y)=x^{2}+2y. Vou testar se a equação é exata: uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata quando
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy+1)=2x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+2y)=2x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y),
e a solução geral será \Phi(x,y)=C com C constante.

Passo 3

Para encontrar \Phi(x,y) integro M(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int (2xy+1)\,dx.
Faço a integral termo a termo:
\int 2xy\,dx = 2y\int x\,dx = 2y\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}y,
\int 1\,dx = x.
Portanto, após integrar em x obtenho
\Phi(x,y)=x^{2}y + x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (aparece porque a integração em x permite uma “constante” que depende de y).

Passo 4

Agora imponho que \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y)=x^{2}+2y. Calculo \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y + x + h(y)\bigr)=x^{2}+h'(y).
Igualando ao N(x,y):
x^{2}+h'(y)=x^{2}+2y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=2y.
Integro h'(y) em relação a y:
h(y)=\int 2y\,dy = y^{2} + \text{const}.
A constante que aparece aqui pode ser absorvida depois em C, então tomo h(y)=y^{2}.

Passo 5

Substituo h(y)=y^{2} na expressão para \Phi(x,y). Assim
\Phi(x,y)=x^{2}y + x + y^{2}.
A solução implícita geral da equação diferencial exata é
\Phi(x,y)=C,
ou seja
x^{2}y + y^{2} + x = C,
onde C é constante arbitrária. Posso fazer uma verificação rápida diferenciando implicitamente essa igualdade para checar que recupero a equação original:
diferenciando em x,
2x y + x^{2} y' + 2y y' + 1 = 0,
isolo y':
y'(x^{2}+2y) + (2xy+1)=0 \quad\Rightarrow\quad y'=-\frac{2xy+1}{x^{2}+2y},
que é exatamente a equação dada, portanto a solução está correta.

Passo 6

Se for desejado expressar y explicitamente em função de x, trata-se de uma equação quadrática em y:
y^{2} + x^{2}y + x - C = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara para y,
y=\frac{-x^{2}\pm\sqrt{x^{4}-4(x-C)}}{2}=\frac{-x^{2}\pm\sqrt{x^{4}-4x+4C}}{2},
onde a escolha do sinal e o domínio vêm da condição de que o discriminante seja não negativo.

Resposta

x^{2}y + y^{2} + x = C
y=\dfrac{-x^{2}\pm\sqrt{x^{4}-4x+4C}}{2}

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