Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^(nu)+2 y^prime prime prime+y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem cinco com coeficientes constantes
y^(5) + 2,y^(3) + y' = 0
O conteúdo é a técnica de equações lineares com coeficientes constantes, em que usamos a hipótese y=e^rx para gerar o polinômio característico.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação, todas as derivadas viram potências de r. Obtém-se o polinômio característico
r^5 + 2r^3 + r = 0

Passo 3

Fatoramos r em evidência:
r^5 + 2r^3 + r = r,(r^4 + 2r^2 + 1)
Reconhecemos o quadrado perfeito r^4 + 2r^2 + 1 = (r^2+1)^2. Logo
r,(r^2+1)^2 = 0

Passo 4

As raízes do polinômio são
r1 = 0 e r2,3,4,5 = pm i
com pm i cada uma de multiplicidade 2.

Passo 5

Para um autovalor real simples r=0 a contribuição é C1 e^0x=C1. Para as raízes complexas repetidas r=pm i de multiplicidade 2, o conjunto fundamental é
lcos x,;sin x,;xcos x,;xsin xr
Assim a solução geral é combinação linear de todos esses modos.

Resposta

y(x) = C1 + C2cos x + C3sin x + C4,xcos x + C5,xsin x,
onde C1,C2,C3,C4,C5 são constantes arbitrárias.

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