Resolva as equações diferenciais abaixo:
e) y^prime=e^x+3 y

Passo 1

Temos uma equação diferencial de primeira ordem e separável: y'=e^x+3y. O conteúdo é EDO separável e vamos precisar separar as variáveis em x e y.

Passo 2

Vamos separar as variáveis escrevendo y' = dydx e agrupando termos em y de um lado e em x do outro:
e^-3y,dy = e^x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral e^-3y,dy = integral e^x,dx

Passo 4

O lado esquerdo dá -tfrac13e^-3y e o direito dá e^x + C, ficando:
-tfrac13e^-3y = e^x + C

Passo 5

Multiplicando por -3) e isolando y:
e^-3y = -3e^x + C1
y = -tfrac13lnl(C1 - 3e^xr)

Resposta

A solução geral é y(x) = -tfrac13lnl(C - 3e^xr), onde C é constante arbitrária.

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