Resolva as equações diferenciais com as condições iniciais indicadas (PVI):
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=3, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y''+4y'+4y=3,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas:
\text{EQUAÇÃO: } y''+4y'+4y=3.ÇÃ
\text{CONDIÇÕES INICIAIS: } y(0)=0,\; y'(0)=0.ÇÕ
Objetivo: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial linear de coeficientes constantes e as duas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro passo padrão: resolver a equação homogênea associada (ou seja, com lado direito zero)
y''+4y'+4y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rx} e obtemos a equação polinomial em r:
r^{2}+4r+4=0.
Agora resolvemos essa quadrática.

Passo 3

Resolvendo a equação característica r^{2}+4r+4=0. Podemos fatorar:
r^{2}+4r+4=(r+2)^{2}=0,
logo temos raiz dupla
r=-2\\ \text{(multiplicidade 2)}.
Quando a raiz r tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando por que: com raiz simples usaríamos e^{rx}; com raiz dupla precisamos também do termo x e^{rx} para ter duas soluções linearmente independentes.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação não-homogênea
y''+4y'+4y=3.
Observação didática: o lado direito é uma constante ( 3). Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução particular constante:
y_{p}(x)=A,\quad A\\ \text{constante}.
Justificativa: funções do mesmo tipo do lado direito (constante, polinômio, exponencial, seno/cosseno) nos levam a tentar uma forma similar; se essa forma coincidisse com uma solução homogênea teríamos que multiplicar por x, mas aqui uma constante não é solução da homogênea não-trivial.

Passo 5

Substituímos y_{p}=A na equação. Como y_{p}'=0 e y_{p}''=0, obtemos
0+4\cdot 0 +4A=3.
Logo
4A=3\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{3}{4}.
Portanto uma solução particular é
y_{p}(x)=\tfrac{3}{4}.

Passo 6

A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}+\tfrac{3}{4}.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 7

Usamos y(0)=0. Avaliando y(x) em x=0:
y(0)=(C_{1}+C_{2}\cdot 0)e^{0}+\tfrac{3}{4}=C_{1}+\tfrac{3}{4}.
Pela condição y(0)=0 temos
C_{1}+\tfrac{3}{4}=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-\tfrac{3}{4}.

Passo 8

Agora usamos y'(0)=0. Primeiro calculamos y'(x). Tomando derivada de
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}+\tfrac{3}{4},
usamos a regra do produto para (C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}. A derivada é
y'(x)=\big(C_{2}\big)e^{-2x}+(C_{1}+C_{2}x)(-2)e^{-2x}+0.
Agrupando termos:
y'(x)=e^{-2x}\big(C_{2}-2C_{1}-2C_{2}x\big).
Agora avaliamos em x=0:
y'(0)=e^{0}\big(C_{2}-2C_{1}-2C_{2}\cdot 0\big)=C_{2}-2C_{1}.
Como y'(0)=0, obtemos
C_{2}-2C_{1}=0\quad\Rightarrow\quad C_{2}=2C_{1}.
Substituindo C_{1}=-\tfrac{3}{4} resulta
C_{2}=2\big(-\tfrac{3}{4}\big)=-\tfrac{3}{2}.

Passo 9

Substituindo os valores de C_{1} e C_{2} na solução geral, obtemos a solução do PVI.

Resposta

y(x)=\big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{2}x\big)e^{-2x}+\tfrac{3}{4}

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