Resolva as equações diferenciais com as condições iniciais indicadas (PVI):
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
Objetivo: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial linear de coeficientes constantes e as duas condições iniciais.
Passo 2
Primeiro passo padrão: resolver a equação homogênea associada (ou seja, com lado direito zero)
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos
e obtemos a equação polinomial em
:
Agora resolvemos essa quadrática.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
. Podemos fatorar:
logo temos raiz dupla
Quando a raiz
tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando por que: com raiz simples usaríamos
; com raiz dupla precisamos também do termo
para ter duas soluções linearmente independentes.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação não-homogênea
Observação didática: o lado direito é uma constante (
). Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução particular constante:
Justificativa: funções do mesmo tipo do lado direito (constante, polinômio, exponencial, seno/cosseno) nos levam a tentar uma forma similar; se essa forma coincidisse com uma solução homogênea teríamos que multiplicar por
, mas aqui uma constante não é solução da homogênea não-trivial.
Passo 5
Substituímos
na equação. Como
e
, obtemos
Logo
Portanto uma solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 7
Usamos
. Avaliando
em
:
Pela condição
temos
Passo 8
Agora usamos
. Primeiro calculamos
. Tomando derivada de
usamos a regra do produto para
. A derivada é
Agrupando termos:
Agora avaliamos em
:
Como
, obtemos
Substituindo
resulta
Passo 9
Substituindo os valores de
e
na solução geral, obtemos a solução do PVI.