Resolva as equações diferenciais dada por separação de variável.
\frac{d y}{d x}=\cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \cos 2x
usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reescrever a equação de forma que todos os termos em y fiquem de um lado e todos os termos em x fiquem do outro, e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por dx:
dy = \cos 2x \,dx.
Agora cada lado só depende de uma variável, então podemos integrar.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int dy = \int \cos 2x \,dx.
No lado esquerdo
\int dy = y + C_1,
e no lado direito usamos que
\int \cos 2x \,dx = \frac{1}{2}\,\sin 2x + C_2.

Passo 4

Igualando os resultados e absorvendo a diferença das constantes em uma única constante C, obtemos
y + C_1 = \tfrac12\,\sin 2x + C_2 \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac12\,\sin 2x + C,
onde C = C_2 - C_1 é a constante arbitrária da solução geral.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{1}{2}\,\sin 2x + C,}
onde C é constante de integração.

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