Exercício 4) Dada a função
, estude sua diferenciabilidade em
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para estudar a diferenciabilidade de
em
.
Conteúdo: diferenciabilidade em . Vamos precisar
Conteúdo: diferenciabilidade em
- calcular as derivadas parciais em
, - formular o candidato ao diferencial (mapa linear)
- verificar a condição
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais em
pela definição.
Para :
Para
Para
:
Passo 3
O candidato ao diferencial (aproximação linear) em
é
Passo 4
Para verificar diferenciabilidade, examinamos
quando
. Se esse quociente não tender a
,
não é diferenciável.
Passo 5
Use coordenadas polares:
,
. Para
,
Então
O valor
depende da direção
e não tende a
uniformemente; por exemplo, em
,
Logo o quociente não vai a
para todas as direções.
Passo 6
Como
não é
, a condição de diferenciabilidade falha.
Resposta
A função
não é diferenciável em
.