Exercício 4) Dada a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x y^{2}}{x^{2}+2 y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right., estude sua diferenciabilidade em (0,0).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y^{2}}{x^{2}+2y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para estudar a diferenciabilidade de f em (0,0).
Conteúdo: diferenciabilidade em \mathbb{R}^{2}. Vamos precisar
  1. calcular as derivadas parciais em (0,0),
  2. formular o candidato ao diferencial (mapa linear)
  3. verificar a condição
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.]

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais em (0,0) pela definição.
Para \partial f/\partial x(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Para \partial f/\partial y(0,0):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.

Passo 3

O candidato ao diferencial (aproximação linear) em (0,0) é
L(x,y)=0\cdot x + 0\cdot y = 0.

Passo 4

Para verificar diferenciabilidade, examinamos
\frac{f(x,y)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
quando (x,y)\to(0,0). Se esse quociente não tender a 0, f não é diferenciável.

Passo 5

Use coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y) =\frac{r\cos\theta\,(r\sin\theta)^{2}}{r^{2}(\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta)} =r\;\frac{\cos\theta\,\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta}.
Então
\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{r\;\dfrac{\cos\theta\,\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta}}{r} =\frac{\cos\theta\,\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta} =: \varphi(\theta).
O valor \varphi(\theta) depende da direção \theta e não tende a 0 uniformemente; por exemplo, em \theta=\pi/4,
\varphi\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =\frac{\tfrac{\sqrt2}{2}\,\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)^{2}} {\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)^{2}+2\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)^{2}} =\frac{\sqrt2/4}{3/2}=\frac{\sqrt2}{6}\neq0.
Logo o quociente não vai a 0 para todas as direções.

Passo 6

Como
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
não é 0, a condição de diferenciabilidade falha.

Resposta

A função f não é diferenciável em (0,0).

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