Exercício 5) Dada a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{cll}x+y-2 & \text { se } x=1 \quad \text { ou } y=1 \\\\ 2 & \text { se } x \neq 1 \quad \text { e } y \neq 1\end{array}\right., mostre que existem f_{x}(1,1) e f_{y}(1,1) porém, f não é diferenciável em (1,1).
Passo 1
O enunciado define a função de duas variáveis \displaystyle f(x,y)=\begin{cases}
x+y-2,&\text{se }x=1\text{ ou }y=1,\\\\ 2,&\text{se }x\neq1\text{ e }y\neq1,
\end{cases}
e pede (i) as derivadas parciais \displaystyle f_x(1,1) e \displaystyle f_y(1,1) via definição, e (ii) mostrar que f não é diferenciável em (1,1) porque o erro da aproximação linear não tende a zero.
Passo 2
Para \displaystyle f_x(1,1) usamos a definição
f_x(1,1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h,1)-f(1,1)}{h}.
Como em (1+h,1) vale y=1, aplica-se f(1+h,1)=(1+h)+1-2=h. E em (1,1) vale f(1,1)=1+1-2=0. Logo