Exercício 5) Dada a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{cll}x+y-2 & \text { se } x=1 \quad \text { ou } y=1 \\\\ 2 & \text { se } x \neq 1 \quad \text { e } y \neq 1\end{array}\right., mostre que existem f_{x}(1,1) e f_{y}(1,1) porém, f não é diferenciável em (1,1).

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis \displaystyle f(x,y)=\begin{cases} x+y-2,&\text{se }x=1\text{ ou }y=1,\\\\ 2,&\text{se }x\neq1\text{ e }y\neq1, \end{cases}
e pede (i) as derivadas parciais \displaystyle f_x(1,1) e \displaystyle f_y(1,1) via definição, e (ii) mostrar que f não é diferenciável em (1,1) porque o erro da aproximação linear não tende a zero.

Passo 2

Para \displaystyle f_x(1,1) usamos a definição
f_x(1,1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h,1)-f(1,1)}{h}.
Como em (1+h,1) vale y=1, aplica-se f(1+h,1)=(1+h)+1-2=h. E em (1,1) vale f(1,1)=1+1-2=0. Logo
\frac{f(1+h,1)-f(1,1)}{h} =\frac{h-0}{h}=1 \quad\Longrightarrow\quad f_x(1,1)=1.

Passo 3

Para \displaystyle f_y(1,1) usamos
f_y(1,1)=\lim_{k\to0}\frac{f(1,1+k)-f(1,1)}{k}.
Em (1,1+k) vale x=1, então f(1,1+k)=1+(1+k)-2=k. Logo
\frac{f(1,1+k)-f(1,1)}{k} =\frac{k-0}{k}=1 \quad\Longrightarrow\quad f_y(1,1)=1.

Passo 4

Para testar diferenciabilidade, consideramos o resto da aproximação linear
R(h,k) =f(1+h,1+k)-f(1,1)-f_x(1,1)\,h-f_y(1,1)\,k.
Se h\neq0 e k\neq0, então f(1+h,1+k)=2. Como f(1,1)=0 e f_x=f_y=1,
R(h,k)=2 - 0 - h - k = 2 - (h+k).
Examinamos
\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} =\frac{2 - (h+k)}{\sqrt{h^2+k^2}}.
No caminho k=h\to0 isso fica
\frac{2-2h}{\sqrt{2h^2}} =\frac{2-2h}{\lvert h\rvert\sqrt2} \;\longrightarrow\;\infty,
logo o quociente não tende a zero, o que mostra que f não é diferenciável em (1,1).

Resposta

\displaystyle f_x(1,1)=1,\quad f_y(1,1)=1, e f não é diferenciável em (1,1).

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