Resolva as equações diferenciais dadas através de uma série de potências em torno do ponto
. Encontre a relação de recorrência e os quatro primeiros em cada uma das duas soluções linearmente independentes. Quando possível determine o termo geral de cada solução.
(a)
em torno de
Res:
e
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver por séries de potências em torno de x₀=0 a EDO y’'−y=0, encontrar a relação de recorrência, os quatro primeiros termos de duas soluções lineares independentes e, quando possível, o termo geral.
Passo 2
Assumimos solução da forma
. Então
e
. Substituindo em y’'−y=0 e alinhando potências de x obtemos
Passo 3
Igualando coeficientes de cada
surge a relação de recorrência
Passo 4
Para a primeira solução tomamos
arbitrário (digamos 1) e
. Calculando até n=6:
. Logo as quatro primeiras parcelas de
são
Passo 5
Para a segunda solução tomamos
arbitrário (digamos 1) e
. Calculando até n=7:
. Assim as quatro primeiras parcelas de
são
Passo 6
Os termos gerais são
e
, produzindo
Resposta
Relação de recorrência:
Soluções independentes com quatro primeiros termos:
Termos gerais:
possibilitando