Resolva as equações diferenciais dadas através de uma série de potências em torno do ponto x0. Encontre a relação de recorrência e os quatro primeiros em cada uma das duas soluções linearmente independentes. Quando possível determine o termo geral de cada solução.
(a) y^prime prime-y=0, em torno de x0=0 Res: an+2=an /(n+2)(n+1) ; y1(x)=sumn=0^infty x^2 n(2 n)! e y2(x)=sumn=0^infty x^2 n+1(2 n+1)!.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por séries de potências em torno de x₀=0 a EDO y’'−y=0, encontrar a relação de recorrência, os quatro primeiros termos de duas soluções lineares independentes e, quando possível, o termo geral.

Passo 2

Assumimos solução da forma y=sumn=0^infty an x^n. Então
y'=sumn=1^infty n an x^n-1 e y''=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2. Substituindo em y’'−y=0 e alinhando potências de x obtemos
sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2 x^n;-;sumn=0^infty an x^n ,=,0

Passo 3

Igualando coeficientes de cada x^n surge a relação de recorrência
an+2=an(n+2)(n+1)(n>=0)

Passo 4

Para a primeira solução tomamos a0 arbitrário (digamos 1) e a1=0. Calculando até n=6:
a2=a0/2!=1/2!,;a4=a2/4·3=1/4!,;a6=1/6!. Logo as quatro primeiras parcelas de y1 são
y1(x)=1+x^22!+x^44!+x^66!+cdots

Passo 5

Para a segunda solução tomamos a1 arbitrário (digamos 1) e a0=0. Calculando até n=7:
a3=a1/3!=1/3!,;a5=1/5!,;a7=1/7!. Assim as quatro primeiras parcelas de y2 são
y2(x)=x+x^33!+x^55!+x^77!+cdots

Passo 6

Os termos gerais são a2n=a0/(2n)! e a2n+1=a1/(2n+1)!, produzindo
y1(x)=sumn=0^inftyx^2n(2n)!, y2(x)=sumn=0^inftyx^2n+1(2n+1)!

Resposta

Relação de recorrência:
an+2=an(n+2)(n+1)(n>=0)
Soluções independentes com quatro primeiros termos:
y1(x)=1+x^22!+x^44!+x^66!+cdots,
y2(x)=x+x^33!+x^55!+x^77!+cdots
Termos gerais:
a2n=a0(2n)!, a2n+1=a1(2n+1)!,
possibilitando
y1(x)=sumn=0^inftyx^2n(2n)!, y2(x)=sumn=0^inftyx^2n+1(2n+1)!

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