(2,0 pontos) Considere o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=x y^{2} \mathbf{i}+x^{2} y \mathbf{j}.
(a) Verifique se o campo \mathbf{F} é conservativo ou não.
(b) Caso o campo \mathbf{F} seja conservativo, encontre a função potencial.
(c) Use a parte (b) para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} sobre a curva C dada por
\mathbf{r}(t)=\left(t+\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2} \pi t\right)\right) \mathbf{i}+\left(t+\cos \left(\frac{1}{2} \pi t\right)\right) \mathbf{j}, \quad 0 \leq t \leq 1 .

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=x y^{2}\,\mathbf{i}+x^{2}y\,\mathbf{j} e pede três coisas:
  • (a) Verificar se \mathbf{F} é conservativo ou não.
  • (b) Caso seja conservativo, encontrar uma função potencial.
  • (c) Usar a parte (b) para calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} onde a curva C é dada por
\mathbf{r}(t)=\bigl(t+\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{1}{2}\pi t\bigr),\;t+\cos\bigl(\tfrac{1}{2}\pi t\bigr)\bigr),\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes do campo são polinômios em x,y.
  • A curva C é dada explicitamente por \mathbf{r}(t) para t\in[0,1].
  • Não há restrição de domínio explícita, logo podemos considerar o domínio natural \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Separemos as componentes do campo, nomeando-as de forma usual:
P(x,y)=x y^{2},\qquad Q(x,y)=x^{2}y.
Para testar se \mathbf{F} é conservativo no domínio dado, calculemos as derivadas parciais mistas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{2}\bigr)=2xy, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr)=2xy.
Como
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=2xy
para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, as derivadas parciais mistas coincidem em todo o domínio.

Passo 3

Explicando por que isso é suficiente: quando P e Q têm derivadas parciais contínuas e o domínio é simplesmente conexo (o conjunto \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo), a condição \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x implica que \mathbf{F} é um campo gradiente, isto é, é conservativo. Intuição curta: igualdade das mistas garante que não há “vórtice local” e em domínios sem buracos isso significa existência de uma função potencial \varphi tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi.
Portanto, concluímos que \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^{2}.

Passo 4

Agora vamos achar a função potencial \varphi(x,y). Por definição, se \mathbf{F}=\nabla\varphi então
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y)=x y^{2}, \qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q(x,y)=x^{2}y.
Integramos \frac{\partial\varphi}{\partial x}=x y^{2} em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int x y^{2}\,dx=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).

Passo 5

Determinar h(y) usando a segunda condição \partial\varphi/\partial y=Q(x,y). Diferenciando a expressão encontrada:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^{2}y+h'(y).
Igualando a Q(x,y)=x^{2}y obtemos
x^{2}y+h'(y)=x^{2}y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante: h(y)=C. Podemos escolher C=0 (potencial determinada a uma constante é suficiente). Assim a função potencial é
\varphi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+C,
e, tomando C=0 para simplicidade,
\varphi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}.

Passo 6

Agora usamos a propriedade fundamental: para um campo conservativo \mathbf{F}=\nabla\varphi e uma curva C que vai do ponto A ao ponto B,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Aqui A=\mathbf{r}(0) e B=\mathbf{r}(1). Calculemos esses pontos usando a parametrização dada.
Para t=0:
\mathbf{r}(0)=\bigl(0+\operatorname{sen}(0),\;0+\cos(0)\bigr)=(0,1),
pois \operatorname{sen}(0)=0 e \cos(0)=1.
Para t=1:
\mathbf{r}(1)=\bigl(1+\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}),\;1+\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr)=(1+1,\;1+0)=(2,1),
pois \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})=1 e \cos(\tfrac{\pi}{2})=0.

Passo 7

Calculemos \varphi nos pontos extremos:
\varphi\bigl(2,1\bigr)=\frac{1}{2}\cdot 2^{2}\cdot 1^{2}=\frac{1}{2}\cdot 4=2, \qquad \varphi\bigl(0,1\bigr)=\frac{1}{2}\cdot 0^{2}\cdot 1^{2}=0.
Portanto, pela propriedade do campo conservativo,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi\bigl(2,1\bigr)-\varphi\bigl(0,1\bigr)=2-0=2.

Resposta

(a) \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^{2}.
(b) \varphi(x,y)=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}+C (tomando C=0, \varphi(x,y)=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}).
(c) \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2.

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