(2,0 pontos) Considere o campo vetorial
.
(a) Verifique se o campo
é conservativo ou não.
(b) Caso o campo
seja conservativo, encontre a função potencial.
(c) Use a parte (b) para calcular
sobre a curva
dada por
(a) Verifique se o campo
(b) Caso o campo
(c) Use a parte (b) para calcular
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede três coisas:
- (a) Verificar se
é conservativo ou não. - (b) Caso seja conservativo, encontrar uma função potencial.
- (c) Usar a parte (b) para calcular
onde a curva é dada por
Informações relevantes fornecidas:
- As componentes do campo são polinômios em
. - A curva
é dada explicitamente por para . - Não há restrição de domínio explícita, logo podemos considerar o domínio natural
.
Passo 2
Separemos as componentes do campo, nomeando-as de forma usual:
Para testar se
é conservativo no domínio dado, calculemos as derivadas parciais mistas:
Como
para todo
, as derivadas parciais mistas coincidem em todo o domínio.
Passo 3
Explicando por que isso é suficiente: quando
e
têm derivadas parciais contínuas e o domínio é simplesmente conexo (o conjunto
é simplesmente conexo), a condição
implica que
é um campo gradiente, isto é, é conservativo. Intuição curta: igualdade das mistas garante que não há “vórtice local” e em domínios sem buracos isso significa existência de uma função potencial
tal que
.
Portanto, concluímos que
é conservativo em
.
Passo 4
Agora vamos achar a função potencial
. Por definição, se
então
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 5
Determinar
usando a segunda condição
. Diferenciando a expressão encontrada:
Igualando a
obtemos
Logo
é constante:
. Podemos escolher
(potencial determinada a uma constante é suficiente). Assim a função potencial é
e, tomando
para simplicidade,
Passo 6
Agora usamos a propriedade fundamental: para um campo conservativo
e uma curva
que vai do ponto
ao ponto
,
Aqui
e
. Calculemos esses pontos usando a parametrização dada.
Para :
Para
pois
e
.
Para :
Para
pois
e
.
Passo 7
Calculemos
nos pontos extremos:
Portanto, pela propriedade do campo conservativo,
Resposta
(a)
é conservativo em
.
(b) (tomando
,
).
(c) .
(b)
(c)