Resolva as Equações Diferenciais:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 y-x}{2 x-y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{2y-x}{2x-y}.
O que se pede é encontrar a solução geral (ou soluções singulares se existirem). Informações relevantes dadas:
  • A equação é uma relação entre \dfrac{dy}{dx} e uma razão de polinómios lineares em x e y.
  • Não há condições iniciais; portanto precisamos da solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos observar a forma do lado direito para escolher um método. Nota importante (com calma): os numerador e denominador são ambos funções lineares homogêneas de grau 1 em x e y — isto sugere que a razão depende só da razão y/x. Quando isso acontece, uma substituição padrão é
y = v x,
onde v é uma função de x. Vou explicar por que isso ajuda: se y= v x, então todas as combinações lineares em x e y podem ser escritas em termos de v (pois y/x=v). Além disso, precisamos da derivada \dfrac{dy}{dx} em termos de v e dv/dx. Calculamos:
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.

Passo 3

Agora substituímos y=vx na equação original. Primeiro expressamos o lado direito em v:
\frac{2y-x}{2x-y}=\frac{2(vx)-x}{2x-(vx)}=\frac{x(2v-1)}{x(2-v)}=\frac{2v-1}{2-v}.
Igualando com a expressão para \dfrac{dy}{dx} obtemos
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{2v-1}{2-v}.
Isolando x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=\frac{2v-1}{2-v}-v.
Vamos simplificar o lado direito passo a passo:
\frac{2v-1}{2-v}-v=\frac{2v-1 - v(2-v)}{2-v}=\frac{2v-1-2v+v^2}{2-v}=\frac{v^2-1}{2-v}.
Logo
x\frac{dv}{dx}=\frac{v^2-1}{2-v}.

Passo 4

Agora separamos variáveis para integrar. Rewrite o lado com v de maneira que fique tudo em v do lado esquerdo e x do lado direito:
\frac{2-v}{v^2-1}\,dv=\frac{dx}{x}.
Explico a razão: queremos uma integral do tipo \int (\text{função de }v)\,dv = \int (\text{função de }x)\,dxçãçã, para obter uma relação entre v e x.

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo fazemos decomposição em frações parciais, porque v^2-1=(v-1)(v+1). Procuramos constantes A e B tal que
\frac{2-v}{v^2-1}=\frac{A}{v-1}+\frac{B}{v+1}.
Multiplicando por (v-1)(v+1)
2-v = A(v+1)+B(v-1) = (A+B)v + (A-B).
Comparando coeficientes em v e constantes:
A+B = -1,\qquad A-B = 2.
Resolvendo:
A=\frac{1}{2},\qquad B=-\frac{3}{2}.
Portanto
\frac{2-v}{v^2-1}=\frac{1/2}{v-1}-\frac{3/2}{v+1}.
Integrando ambos os lados:
\int\left(\frac{1/2}{v-1}-\frac{3/2}{v+1}\right)dv=\int\frac{dx}{x}.
As integrais são logaritmos:
\frac{1}{2}\ln|v-1|-\frac{3}{2}\ln|v+1|=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
\ln|v-1|-3\ln|v+1|=2\ln|x|+C_1,
com C_1=2C.

Passo 6

Passamos para forma exponencial e simplificamos as potências dos logaritmos. Escrevendo tudo num só logaritmo:
\ln\!\left(\frac{|v-1|}{|v+1|^3}\right)=\ln|x|^2 + C_1.
Isto implica (absorvendo e^{C_1} numa constante arbitrária K\neq0):
\frac{v-1}{(v+1)^3}=K x^2.
Agora substituímos de volta v=\dfrac{y}{x}. Faça a substituição com calma:
\frac{\dfrac{y}{x}-1}{\left(\dfrac{y}{x}+1\right)^3}=K x^2.
Simplificando: o numerador fica \dfrac{y-x}{x} e o denominador \dfrac{(y+x)^3}{x^3}. Então
\frac{y-x}{x}\cdot\frac{x^3}{(y+x)^3}=K x^2.
Os fatores em x cancelam e obtemos uma forma implícita muito simples:
\frac{y-x}{(y+x)^3}=K.
Aqui K é uma constante real arbitrária (que pode ser zero).

Passo 7

Há ainda soluções particulares que podem ter sido perdidas quando dividimos por expressões que podem ser zero. Voltamos ao passo em que procurámos constantes v (soluções com v constante, isto é, retas y=vx). Se v é constante então dv/dx=0 e a equação
v=\frac{2v-1}{2-v}
deve valer. Resolvendo:
v(2-v)=2v-1 \quad\Rightarrow\quad -v^2 = -1 \quad\Rightarrow\quad v^2=1,
logo v=1 ou v=-1. Estas correspondem às retas
y=x\quad\text{e}\quad y=-x.
Na solução geral implícita \dfrac{y-x}{(y+x)^3}=K o caso y=x aparece quando K=0 (porque o numerador y-x anula), mas y=-x não está representada por nenhum K finito (o denominador zera). Portanto deve ser indicada separadamente como solução singular.

Resposta

\displaystyle \frac{y-x}{(y+x)^3}=C, onde C é constante arbitrária.\n \displaystyle y=-x (solução singular).

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