Resolva as Equações Diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede é encontrar a solução geral (ou soluções singulares se existirem). Informações relevantes dadas:
- A equação é uma relação entre
e uma razão de polinómios lineares em e . - Não há condições iniciais; portanto precisamos da solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Vamos observar a forma do lado direito para escolher um método. Nota importante (com calma): os numerador e denominador são ambos funções lineares homogêneas de grau
em
e
— isto sugere que a razão depende só da razão
. Quando isso acontece, uma substituição padrão é
onde
é uma função de
. Vou explicar por que isso ajuda: se
, então todas as combinações lineares em
e
podem ser escritas em termos de
(pois
). Além disso, precisamos da derivada
em termos de
e
. Calculamos:
Passo 3
Agora substituímos
na equação original. Primeiro expressamos o lado direito em
:
Igualando com a expressão para
obtemos
Isolando
:
Vamos simplificar o lado direito passo a passo:
Logo
Passo 4
Agora separamos variáveis para integrar. Rewrite o lado com
de maneira que fique tudo em
do lado esquerdo e
do lado direito:
Explico a razão: queremos uma integral do tipo
, para obter uma relação entre
e
.
Passo 5
Para integrar o lado esquerdo fazemos decomposição em frações parciais, porque
. Procuramos constantes
e
tal que
Multiplicando por
dá
Comparando coeficientes em
e constantes:
Resolvendo:
Portanto
Integrando ambos os lados:
As integrais são logaritmos:
onde
é constante de integração. Multiplicando tudo por
para simplificar:
com
.
Passo 6
Passamos para forma exponencial e simplificamos as potências dos logaritmos. Escrevendo tudo num só logaritmo:
Isto implica (absorvendo
numa constante arbitrária
):
Agora substituímos de volta
. Faça a substituição com calma:
Simplificando: o numerador fica
e o denominador
. Então
Os fatores em
cancelam e obtemos uma forma implícita muito simples:
Aqui
é uma constante real arbitrária (que pode ser zero).
Passo 7
Há ainda soluções particulares que podem ter sido perdidas quando dividimos por expressões que podem ser zero. Voltamos ao passo em que procurámos constantes
(soluções com
constante, isto é, retas
). Se
é constante então
e a equação
deve valer. Resolvendo:
logo
ou
. Estas correspondem às retas
Na solução geral implícita
o caso
aparece quando
(porque o numerador
anula), mas
não está representada por nenhum
finito (o denominador zera). Portanto deve ser indicada separadamente como solução singular.