Resolva as Equações Diferenciais:
2 x^{2} y d x=\left(3 x^{3}+y^{3}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
2 x^{2} y\,dx = \left(3 x^{3} + y^{3}\right)\,dy.
O que se quer é encontrar a família de curvas y(x) que satisfaz essa relação diferencial. As informações fornecidas são apenas a equação diferencial acima; não há condições iniciais. Vou procurar a solução geral (implícita) e também verificar soluções especiais que possam ter sido perdidas durante manipulações algébricas.

Passo 2

Primeiro deixo a equação em forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots. Dividindo ambos os lados por dx e por \left(3 x^{3}+y^{3}\right) (quando esse fator for não nulo):
\frac{dy}{dx}=\frac{2 x^{2} y}{3 x^{3}+y^{3}}.
Isto é uma equação de primeira ordem relacionando y e x.

Passo 3

A expressão do lado direito depende das potências x^{3} e y^{3} e é homogênea no sentido de que substituições do tipo y=ux costumam simplificar frações envolvendo potências iguais de x e y. Então faço a substituição padrão para equações homogêneas:
y = u(x)\,x.
Explico: u(x) é a razão y/x. Diferenciando,
\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}.
Essa substituição transforma a equação em uma para u(x) e (em muitos casos) torna a equação separável.

Passo 4

Substituo y=ux e dy/dx = u + x\,du/dx na equação obtida no Passo 2. Primeiro calculo numeradores e denominadores:
2 x^{2} y = 2 x^{2}(u x)=2u x^{3}, \qquad 3 x^{3}+y^{3}=3 x^{3}+u^{3}x^{3}=x^{3}(3+u^{3}).
Logo
u + x\frac{du}{dx}=\frac{2u x^{3}}{x^{3}(3+u^{3})}=\frac{2u}{3+u^{3}}.

Passo 5

Isolo x\,du/dx:
x\frac{du}{dx}=\frac{2u}{3+u^{3}}-u.
Faço a subtração com denominador comum:
\frac{2u}{3+u^{3}}-u = u\left(\frac{2}{3+u^{3}}-1\right) = u\left(\frac{2-(3+u^{3})}{3+u^{3}}\right) = -u\frac{1+u^{3}}{3+u^{3}}.
Portanto
x\frac{du}{dx}=-u\frac{1+u^{3}}{3+u^{3}}.

Passo 6

A equação acima é separável. Reescrevo separando u e x:
\frac{3+u^{3}}{u(1+u^{3})}\,du = -\frac{dx}{x}.
Agora vou integrar ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo preciso simplificá-lo. Faço decomposição em parcelas:
proponho
\frac{3+u^{3}}{u(1+u^{3})}=\frac{A}{u}+\frac{Bu^{2}+Cu+D}{1+u^{3}}.
Multiplicando por u(1+u^{3}) obtemos
3+u^{3}=A(1+u^{3})+u(Bu^{2}+Cu+D)=A + (A+B)u^{3}+Cu^{2}+Du.
Comparando coeficientes:
  • termo constante: A=3,
  • termo em u: D=0,
  • termo em u^{2}: C=0,
  • termo em u^{3}: A+B=1 \Rightarrow B=1-A=1-3=-2.
Assim a decomposição é
\frac{3+u^{3}}{u(1+u^{3})}=\frac{3}{u}-\frac{2u^{2}}{1+u^{3}}.

Passo 7

Integro ambos os lados:
\int\left(\frac{3}{u}-\frac{2u^{2}}{1+u^{3}}\right)du = \int -\frac{dx}{x}.
Calculo as integrais separadamente.
Para a primeira parcela:
\int \frac{3}{u}\,du = 3\ln|u|.
Para a segunda parcela uso a substituição t=1+u^{3}, de modo que dt=3u^{2}du, ou u^{2}du=\dfrac{dt}{3}. Então
\int \frac{u^{2}}{1+u^{3}}\,du = \int \frac{1}{t}\cdot\frac{dt}{3}=\frac{1}{3}\ln|t|=\frac{1}{3}\ln|1+u^{3}|.
Multiplicando pelo coeficiente -2 -\dfrac{2}{3}\ln|1+u^{3}|.
Do lado direito:
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C.
Somando as partes obtemos a igualdade
3\ln|u|-\frac{2}{3}\ln|1+u^{3}| = -\ln|x| + C.

Passo 8

Multiplico a equação por 3 para retirar o denominador:
9\ln|u| - 2\ln|1+u^{3}| = -3\ln|x| + C_{1}.
Agrupo os logaritmos à esquerda:
\ln\!\left(\frac{u^{9}}{(1+u^{3})^{2}}\right) = \ln\!\left(\frac{C_{2}}{x^{3}}\right),
onde C_{2}=e^{C_{1}} é uma constante positiva arbitrária (podemos, de forma geral, usar uma constante C não nula). Exponenciando:
\frac{u^{9}}{(1+u^{3})^{2}}=\frac{C}{x^{3}}.

Passo 9

Volto à variável original y lembrando que u=\dfrac{y}{x}. Substituo e simplifico:
\frac{\left(\dfrac{y}{x}\right)^{9}}{\left(1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{3}\right)^{2}}=\frac{C}{x^{3}}.
No numerador \left(\dfrac{y}{x}\right)^{9}=\dfrac{y^{9}}{x^{9}}. No denominador 1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{3}=\dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{3}}, então
\left(1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{3}\right)^{2}=\frac{(x^{3}+y^{3})^{2}}{x^{6}}.
Portanto a fração fica
\frac{y^{9}/x^{9}}{(x^{3}+y^{3})^{2}/x^{6}}=\frac{y^{9}}{x^{3}(x^{3}+y^{3})^{2}}.
Igualando a \dfrac{C}{x^{3}} e multiplicando ambos os lados por x^{3} obtém-se a forma implícita simples
\frac{y^{9}}{(x^{3}+y^{3})^{2}}=C,
onde C é uma constante arbitrária (real).

Passo 10

Verifico soluções especiais que possam ter sido perdidas nas divisões feitas durante a separação:
  • Durante a separação dividi por u, portanto a possibilidade u=0 (isto é, y=0) precisa ser verificada. Substituindo y\equiv0 na equação original obtemos 0=(3x^{3}+0)\,dy que implica dy=0; isto é consistente com y\equiv0. Assim y\equiv0 é solução (ela corresponde a C=0 na solução implícita).
  • Também houve divisão por 1+u^{3} em alguns passos; se 1+u^{3}=0 então u^{3}=-1 e u=-1, ou seja y=-x. Verifico y=-x na equação original: substituindo y=-x tem-se \dfrac{dy}{dx}=-1 e o lado direito vira \dfrac{2x^{2}(-x)}{3x^{3}+(-x)^{3}}=\dfrac{-2x^{3}}{2x^{3}}=-1. Portanto y=-x é solução também — ela não aparece na expressão implícita porque ali o denominador x^{3}+y^{3} zera quando y=-x. Logo y=-x é uma solução singular que deve ser listada separadamente.

Resposta

\dfrac{y^{9}}{(x^{3}+y^{3})^{2}}=C
y\equiv 0
y=-x

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