Resolva as Equações Diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
O que se quer é encontrar a família de curvas
que satisfaz essa relação diferencial. As informações fornecidas são apenas a equação diferencial acima; não há condições iniciais. Vou procurar a solução geral (implícita) e também verificar soluções especiais que possam ter sido perdidas durante manipulações algébricas.
Passo 2
Primeiro deixo a equação em forma
. Dividindo ambos os lados por
e por
(quando esse fator for não nulo):
Isto é uma equação de primeira ordem relacionando
e
.
Passo 3
A expressão do lado direito depende das potências
e
e é homogênea no sentido de que substituições do tipo
costumam simplificar frações envolvendo potências iguais de
e
. Então faço a substituição padrão para equações homogêneas:
Explico:
é a razão
. Diferenciando,
Essa substituição transforma a equação em uma para
e (em muitos casos) torna a equação separável.
Passo 4
Substituo
e
na equação obtida no Passo 2. Primeiro calculo numeradores e denominadores:
Logo
Passo 5
Isolo
:
Faço a subtração com denominador comum:
Portanto
Passo 6
A equação acima é separável. Reescrevo separando
e
:
Agora vou integrar ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo preciso simplificá-lo. Faço decomposição em parcelas:
proponho
proponho
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
- termo constante:
, - termo em
: , - termo em
: , - termo em
: .
Assim a decomposição é
Passo 7
Integro ambos os lados:
Calculo as integrais separadamente.
Para a primeira parcela:
Para a segunda parcela uso a substituição
, de modo que
, ou
. Então
Multiplicando pelo coeficiente
dá
.
Do lado direito:
Somando as partes obtemos a igualdade
Passo 8
Multiplico a equação por
para retirar o denominador:
Agrupo os logaritmos à esquerda:
onde
é uma constante positiva arbitrária (podemos, de forma geral, usar uma constante
não nula). Exponenciando:
Passo 9
Volto à variável original
lembrando que
. Substituo e simplifico:
No numerador
. No denominador
, então
Portanto a fração fica
Igualando a
e multiplicando ambos os lados por
obtém-se a forma implícita simples
onde
é uma constante arbitrária (real).
Passo 10
Verifico soluções especiais que possam ter sido perdidas nas divisões feitas durante a separação:
- Durante a separação dividi por
, portanto a possibilidade (isto é, ) precisa ser verificada. Substituindo na equação original obtemos que implica ; isto é consistente com . Assim é solução (ela corresponde a na solução implícita). - Também houve divisão por
em alguns passos; se então e , ou seja . Verifico na equação original: substituindo tem-se e o lado direito vira . Portanto é solução também — ela não aparece na expressão implícita porque ali o denominador zera quando . Logo é uma solução singular que deve ser listada separadamente.