Resolva as equações diferenciais homogêneas abaixo:
(x-y) dx + x dy = 0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x - y)\,dx + x\,dy = 0.
O que se pede: encontrar a solução geral dessa equação diferencial (isto é, uma família de curvas que satisfaça a equação, com constante arbitrária).
Informações relevantes dadas:
  • A equação está em forma diferencial total com dx e dy.
  • Não há outras condições iniciais fornecidas, então devemos encontrar a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots para trabalhar com uma equação de primeira ordem. Dividindo a equação por dx obtemos
x - y + x\frac{dy}{dx} = 0.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
x\frac{dy}{dx} = y - x, \qquad\text{logo}\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - 1.
Aqui escrevi a derivada explícita porque isso facilita escolher uma substituição que torne a equação separável.

Passo 3

Observação didática sobre a forma: a razão \dfrac{y}{x} aparece naturalmente. Uma técnica útil é fazer a substituição
v=\frac{y}{x}.
Isso transforma a equação em termos de v e x, frequentemente levando a uma equação separável. Não é preciso decorar: a ideia é reduzir uma função de y/x a uma variável única v.

Passo 4

Expresse \dfrac{dy}{dx} em função de v e x. Como y=vx, pela regra do produto obtemos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituímos isso na equação obtida no Passo 2:
v + x\frac{dv}{dx} = v - 1.

Passo 5

Simplificar a equação em v. Cancelando v dos dois lados resulta
x\frac{dv}{dx} = -1.
Isolar \dfrac{dv}{dx}:
\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{x}.
Agora temos uma equação separável simples em v e x.

Passo 6

Integrar ambos os lados. Podemos escrever
\int dv = -\int \frac{1}{x}\,dx.
As integrais são diretas:
v = -\ln|x| + C,
onde C é constante arbitrária de integração. (Usei valor absoluto em \ln por causa da integral de 1/x.)

Passo 7

Voltar à variável original y. Lembrando v=\dfrac{y}{x}, temos
\frac{y}{x} = -\ln|x| + C.
Multiplicando por x,
y = x\bigl(C - \ln|x|\bigr).
Esta é a solução geral em forma explícita. Podemos também escrever de forma equivalente e implícita
y + x\ln|x| = Cx.

Resposta

y = Cx - x\ln|x|

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