Resolva as equações diferenciais homogêneas abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral dessa equação diferencial (isto é, uma família de curvas que satisfaça a equação, com constante arbitrária).
Informações relevantes dadas:
- A equação está em forma diferencial total com
e . - Não há outras condições iniciais fornecidas, então devemos encontrar a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação na forma
para trabalhar com uma equação de primeira ordem. Dividindo a equação por
obtemos
Isolando
,
Aqui escrevi a derivada explícita porque isso facilita escolher uma substituição que torne a equação separável.
Passo 3
Observação didática sobre a forma: a razão
aparece naturalmente. Uma técnica útil é fazer a substituição
Isso transforma a equação em termos de
e
, frequentemente levando a uma equação separável. Não é preciso decorar: a ideia é reduzir uma função de
a uma variável única
.
Passo 4
Expresse
em função de
e
. Como
, pela regra do produto obtemos
Substituímos isso na equação obtida no Passo 2:
Passo 5
Simplificar a equação em
. Cancelando
dos dois lados resulta
Isolar
:
Agora temos uma equação separável simples em
e
.
Passo 6
Integrar ambos os lados. Podemos escrever
As integrais são diretas:
onde
é constante arbitrária de integração. (Usei valor absoluto em
por causa da integral de
.)
Passo 7
Voltar à variável original
. Lembrando
, temos
Multiplicando por
,
Esta é a solução geral em forma explícita. Podemos também escrever de forma equivalente e implícita