Resolva as equações diferenciais homogêneas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A equação está escrita em forma diferencial total
com e . - Queremos a solução geral (constante arbitrária) que relaciona
e .
Não se pede solução particular nem condição inicial.
Passo 2
Vamos verificar uma estratégia conveniente. Uma técnica muito útil para equações do tipo
é verificar se
e
são homogêneos do mesmo grau; nesse caso a substituição
(tornando
função de
) costuma simplificar a equação. Explico o porquê e como usar essa substituição no próximo passo.
Passo 3
Primeiro calculemos se
e
são homogêneos do mesmo grau:
-
é homogêneo de grau (cada termo é de grau 1). -
também é homogêneo de grau .
Como têm o mesmo grau, a substituição
é apropriada. Ao usar
temos que derivar
em relação a
:
onde
. Aqui
é a nova incógnita; a ideia é transformar a equação em uma equação para
.
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
torna-se
Agora passo a passo simplificando:
Agrupando os termos em
:
Dividindo tudo por
(observe que isso exige
; trataremos
separadamente se necessário):
Escrevendo como equação diferencial ordinária para
:
Colocando no formato padrão linear:
Passo 5
Agora temos uma equação linear de primeira ordem em
do tipo
com
e
.
Lembrando a técnica do fator integrante: o fator integrante
é
onde usei que
para
. Multiplicando a equação por
torna o lado esquerdo a derivada de
.
Passo 6
Multiplicando por
:
O lado esquerdo é exatamente
, logo
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à variável original
: lembra que
. Substituindo:
Podemos isolar
para obter a forma explícita da solução geral:
onde
é constante arbitrária real. Alternativamente a solução pode ser escrita implicitamente multiplicando por
:
com
constante arbitrária.