Resolva as equações diferenciais homogêneas abaixo:
(x+y) dx + x dy = 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x+y)\,dx + x\,dy = 0.
Informações dadas:
  • A equação está escrita em forma diferencial total M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=x+y e N(x,y)=x.
  • Queremos a solução geral (constante arbitrária) que relaciona x e y.
    Não se pede solução particular nem condição inicial.

Passo 2

Vamos verificar uma estratégia conveniente. Uma técnica muito útil para equações do tipo M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é verificar se M e N são homogêneos do mesmo grau; nesse caso a substituição
y = v x
(tornando v função de x) costuma simplificar a equação. Explico o porquê e como usar essa substituição no próximo passo.

Passo 3

Primeiro calculemos se M e N são homogêneos do mesmo grau:
  • M(x,y)=x+y é homogêneo de grau 1 (cada termo é de grau 1).
  • N(x,y)=x também é homogêneo de grau 1.
Como têm o mesmo grau, a substituição y=vx é apropriada. Ao usar y=vx temos que derivar y em relação a x:
dy = v\,dx + x\,dv,
onde v=v(x). Aqui v é a nova incógnita; a ideia é transformar a equação em uma equação para v(x).

Passo 4

Substituindo y=vx e dy=v\,dx+x\,dv na equação original:
(x+y)\,dx + x\,dy = 0
torna-se
(x+vx)\,dx + x\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr) = 0.
Agora passo a passo simplificando:
x(1+v)\,dx + x v\,dx + x^2\,dv = 0.
Agrupando os termos em dx:
x(1+v+v)\,dx + x^2\,dv = 0 \quad\Rightarrow\quad x(1+2v)\,dx + x^2\,dv = 0.
Dividindo tudo por x^2 (observe que isso exige x\neq 0; trataremos x=0 separadamente se necessário):
\frac{1+2v}{x}\,dx + dv = 0.
Escrevendo como equação diferencial ordinária para v(x):
\frac{dv}{dx} = -\frac{1+2v}{x}.
Colocando no formato padrão linear:
\frac{dv}{dx} + \frac{2}{x}\,v = -\frac{1}{x}.

Passo 5

Agora temos uma equação linear de primeira ordem em v do tipo
\frac{dv}{dx} + P(x)\,v = Q(x),
com P(x)=\dfrac{2}{x} e Q(x)=-\dfrac{1}{x}.
Lembrando a técnica do fator integrante: o fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp(2\ln|x|)=x^2,
onde usei que x^2>0 para x\neq0. Multiplicando a equação por \mu(x)=x^2 torna o lado esquerdo a derivada de x^2 v.

Passo 6

Multiplicando por x^2:
x^2\frac{dv}{dx} + 2x v = -x.
O lado esquerdo é exatamente \dfrac{d}{dx}(x^2 v), logo
\frac{d}{dx}\bigl(x^2 v\bigr) = -x.
Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2 v = -\int x\,dx = -\frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à variável original y: lembra que v=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
x^2\cdot\frac{y}{x} = x y = -\frac{x^2}{2} + C.
Podemos isolar y para obter a forma explícita da solução geral:
y = -\frac{x}{2} + \frac{C}{x},\qquad x\neq 0,
onde C é constante arbitrária real. Alternativamente a solução pode ser escrita implicitamente multiplicando por 2:
x^2 + 2xy = C',
com C'=2C constante arbitrária.

Resposta

y = -\frac{x}{2} + \frac{C}{x},\quad x\neq 0

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