Simplifique a expressão
, sabendo que
é um número inteiro maior que 2. (Dica: analise a relação do quociente
).
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e informa que
é um número inteiro
. O que se pede é simplificar essa expressão.
Informações relevantes que temos (tiradas do enunciado):
Informações relevantes que temos (tiradas do enunciado):
- A expressão é
. -
é inteiro e .
Dica do enunciado: analisar o quociente.
Passo 2
Vamos calcular o quociente
. Uma técnica padrão para simplificar frações complexas é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
. Então:
Calculemos cada parte:
. E
. Portanto
Ou seja, o quociente vale exatamente
.
Passo 3
Reescrevemos a expressão original de modo a usar esse quociente:
Pelo que encontramos no passo anterior,
. Logo
Passo 4
Agora calculemos
:
Passo 5
Substituindo os resultados:
Essa é uma forma bem simplificada. Podemos ainda lembrar que as potências de
seguem ciclo de período
:
Assim, dependendo de
, a expressão toma formas explícitas:
- se
, então ; - se
, então ; - se
, então ; - se
, então .