Simplifique a expressão \frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}, sabendo que n é um número inteiro maior que 2. (Dica: analise a relação do quociente \frac{1+i}{1-i} ).

Passo 1

O enunciado dá a expressão \dfrac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}} e informa que n é um número inteiro >2. O que se pede é simplificar essa expressão.
Informações relevantes que temos (tiradas do enunciado):
  • A expressão é \dfrac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}.
  • n é inteiro e n>2.
    Dica do enunciado: analisar o quociente \dfrac{1+i}{1-i}.

Passo 2

Vamos calcular o quociente \dfrac{1+i}{1-i}. Uma técnica padrão para simplificar frações complexas é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 1-i é 1+i. Então:
\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{(1+i)^2}{1^2-i^2}.
Calculemos cada parte: (1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i. E 1^2-i^2=1-(-1)=2. Portanto
\frac{1+i}{1-i}=\frac{2i}{2}=i.
Ou seja, o quociente vale exatamente \,i.

Passo 3

Reescrevemos a expressão original de modo a usar esse quociente:
\frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}} =\frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n}}\,(1-i)^{2} =\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{n}\,(1-i)^{2}.
Pelo que encontramos no passo anterior, \dfrac{1+i}{1-i}=i. Logo
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{n}=i^{n}.

Passo 4

Agora calculemos (1-i)^{2}:
(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=1-2i-1=-2i.

Passo 5

Substituindo os resultados:
\frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}=i^{n}\cdot(-2i)=-2\,i^{n+1}.
Essa é uma forma bem simplificada. Podemos ainda lembrar que as potências de i seguem ciclo de período 4:
i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1,\\ \text{etc.}
Assim, dependendo de n\bmod4, a expressão toma formas explícitas:
  • se n\equiv0\pmod{4}, então -2\,i^{n+1}=-2i;
  • se n\equiv1\pmod{4}, então -2\,i^{n+1}=2;
  • se n\equiv2\pmod{4}, então -2\,i^{n+1}=2i;
  • se n\equiv3\pmod{4}, então -2\,i^{n+1}=-2.

Resposta

-2\,i^{n+1}

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