Calcule as integrais:
\iint_{D}\left(3 x^{2}+y^{2}-10\right) d \mathrm{~A}\, sendo D a região definida por 0 \leq \mathrm{x} \leq 1,0 \leq \mathrm{y} \leq 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(3 x^{2}+y^{2}-10\right)\,dA,
onde a região D é o retângulo dado por
0 \leq x \leq 1,\qquad 0 \leq y \leq 3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é f(x,y)=3x^{2}+y^{2}-10.
  • A região D é um produto cartesiano de intervalos: D=[0,1]\times[0,3].
  • A tarefa é calcular o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo.

Passo 2

Estratégia e justificativa (fórmula que vou usar).
  • Como f(x,y) é contínua em D (polinômio em x,y), pelo teorema de Fubini a integral dupla sobre o retângulo pode ser calculada como uma integral iterada. Ou seja, posso escrever
\iint_{D} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{3} f(x,y)\,dy\right)dx.
  • Vou integrar primeiro em relação a y (tratando x como constante), obter uma expressão em x e depois integrar em x.
    Breve lembrete de regra: a antiderivada de y^n em relação a y é \dfrac{y^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1), e constantes multiplicativas saem da integral.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=0}^{3} \big(3x^{2}+y^{2}-10\big)\,dy.
Trato x como constante nessa integração. Antiderivadas termo a termo:
  • \displaystyle \int 3x^{2}\,dy = 3x^{2}\,y (pois 3x^{2} é constante em y),
  • \displaystyle \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3},
  • \displaystyle \int (-10)\,dy = -10y.
    Logo a antiderivada completa em y é
3x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}-10y.
Agora avalio entre y=0 e y=3:
\Big(3x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}-10y\Big)\Big|_{0}^{3} = \big(3x^{2}\cdot 3 + \frac{3^{3}}{3} -10\cdot 3\big) - 0.
Calculemos cada termo:
3x^{2}\cdot 3 = 9x^{2},\qquad \frac{3^{3}}{3}=\frac{27}{3}=9,\qquad -10\cdot3 = -30.
Somando:
9x^{2}+9-30 = 9x^{2}-21.
Portanto a integral interna resulta em 9x^{2}-21.

Passo 4

Agora faço a integral externa em x:
\int_{x=0}^{1} \big(9x^{2}-21\big)\,dx.
Calculo as antiderivadas termo a termo:
  • \displaystyle \int 9x^{2}\,dx = 9\cdot\frac{x^{3}}{3}=3x^{3},
  • \displaystyle \int -21\,dx = -21x.
    Portanto a antiderivada é 3x^{3}-21x. Avaliando entre 0 e 1:
\big(3x^{3}-21x\big)\Big|_{0}^{1} = (3\cdot1^{3}-21\cdot1) - 0 = 3-21 = -18.

Passo 5

Cheque rápido por outro método (integração na ordem inversa) para confirmar a coerência:
  • Integrando primeiro em x: \displaystyle \int_{0}^{1} 3x^{2}\,dx = 1, e \displaystyle \int_{0}^{1} (y^{2}-10)\,dx = (y^{2}-10)\cdot 1 = y^{2}-10.
  • Depois integrar em y de 0 a 3: \displaystyle \int_{0}^{3} \big(1 + y^{2}-10\big)\,dy = \int_{0}^{3} (y^{2}-9)\,dy = \big(\tfrac{y^{3}}{3}-9y\big)\Big|_{0}^{3} = (9-27)-0 = -18.
    Resultado idêntico, bom sinal.

Resposta

-18

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