Calcule as integrais: \iint_{D}\left(3 x^{2}+y^{2}-10\right) d \mathrm{~A}\, sendo D a região definida por 0 \leq \mathrm{x} \leq 1,0 \leq \mathrm{y} \leq 3
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(3 x^{2}+y^{2}-10\right)\,dA,
onde a região D é o retângulo dado por
0 \leq x \leq 1,\qquad 0 \leq y \leq 3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função a integrar é f(x,y)=3x^{2}+y^{2}-10.
A região D é um produto cartesiano de intervalos: D=[0,1]\times[0,3].
A tarefa é calcular o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo.
Passo 2
Estratégia e justificativa (fórmula que vou usar).
Como f(x,y) é contínua em D (polinômio em x,y), pelo teorema de Fubini a integral dupla sobre o retângulo pode ser calculada como uma integral iterada. Ou seja, posso escrever
Vou integrar primeiro em relação a y (tratando x como constante), obter uma expressão em x e depois integrar em x.
Breve lembrete de regra: a antiderivada de y^n em relação a y é \dfrac{y^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1), e constantes multiplicativas saem da integral.
Passo 3
Calcular a integral interna em y:
\int_{y=0}^{3} \big(3x^{2}+y^{2}-10\big)\,dy.
Trato x como constante nessa integração. Antiderivadas termo a termo:
\displaystyle \int 3x^{2}\,dy = 3x^{2}\,y (pois 3x^{2} é constante em y),
\displaystyle \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3},
\displaystyle \int (-10)\,dy = -10y.
Logo a antiderivada completa em y é