(valor: 2,0) Considere f(x, y)=ln (x^2+y^2).
(a) Faça seu mapa de contorno.
(b) Identifique a curva de nível que passa por P=(e2, raiz3 e2) e retrate o vetor nabla f(P).
(c) Identifique a curva de nível que passa por Q=(-e, 0) e retrate três direções de decrescimento da função a partir deste ponto.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=lnl(x^2+y^2r)
e pede: (a) o mapa de contorno (curvas de nível); (b) identificar a curva de nível que passa por
P=l(tfrace2,,tfracraiz3,e2r)
e desenhar o vetor nabla f(P); (c) fazer o mesmo para
Q=(-e,0)
e, a partir desse ponto, desenhar três direções de decrescimento de f.
Conteúdo: curvas de nível e gradiente em funções de duas variáveis.

Passo 2

As curvas de nível de f são dadas por
f(x,y)=c Longrightarrow lnl(x^2+y^2r)=c Longrightarrow x^2+y^2=e^c
Logo cada curva de nível é um círculo de raio
r=e^c/2
centrado em (0,0). Esse é o nosso mapa de contorno: círculos concêntricos com raios que crescem conforme c aumenta.

Passo 3

No ponto
P=l(tfrace2,,tfracraiz3,e2r)
temos
x^2+y^2=e^24+3e^24=e^2
logo
f(P)=ln(e^2)=2
A curva de nível é o círculo de raio e.
O gradiente de f é
nabla f(x,y) =l(2xx^2+y^2,,2yx^2+y^2r)
Em P
nabla f(P) =l(2,(e/2)e^2,,2,(raiz3,e/2)e^2r) =l(tfrac1e,,tfracraiz3er)
Esse vetor aponta radialmente para fora do círculo de raio e.

Passo 4

No ponto
Q=(-e,0)
também x^2+y^2=e^2, então f(Q)=2 e a curva de nível é novamente o círculo de raio e.
Calculamos
nabla f(Q) =l(2(-e)e^2,,0r) =l(-tfrac2e,,0r),
que aponta para a esquerda. As direções de decrescimento (vetores unitários u com nabla f(Q)cdot u<0) podem ser, por exemplo,
u1=(1,0), u2=l(tfracraiz32,,tfrac12r), u3=l(tfracraiz32,,-tfrac12r)
Cada uma dessas tem produto escalar nabla f(Q)cdot ui=-tfrac2e,ui1<0, ou seja, f decresce nessas direções a partir de Q.

Resposta

(a) As curvas de nível são círculos x^2+y^2=e^c.
(b) Em P, f(P)=2, curva de nível círculo de raio e,
nabla f(P)=l(tfrac1e,tfracraiz3er)
(c) Em Q, mesma curva de nível (raio e),
nabla f(Q)=l(-tfrac2e,0r),
e três direções de decrescimento são
u1=(1,0), u2=l(tfracraiz32,tfrac12r), u3=l(tfracraiz32,-tfrac12r)

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