(valor: 2,0) Considere
.
(a) Faça seu mapa de contorno.
(b) Identifique a curva de nível que passa por
e retrate o vetor
.
(c) Identifique a curva de nível que passa por
e retrate três direções de decrescimento da função a partir deste ponto.
(a) Faça seu mapa de contorno.
(b) Identifique a curva de nível que passa por
(c) Identifique a curva de nível que passa por
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (a) o mapa de contorno (curvas de nível); (b) identificar a curva de nível que passa por
e desenhar o vetor
; (c) fazer o mesmo para
e, a partir desse ponto, desenhar três direções de decrescimento de
.
Conteúdo: curvas de nível e gradiente em funções de duas variáveis.
Conteúdo: curvas de nível e gradiente em funções de duas variáveis.
Passo 2
As curvas de nível de
são dadas por
Logo cada curva de nível é um círculo de raio
centrado em
. Esse é o nosso mapa de contorno: círculos concêntricos com raios que crescem conforme
aumenta.
Passo 3
No ponto
temos
logo
A curva de nível é o círculo de raio
.
O gradiente de é
O gradiente de
Em
dá
Esse vetor aponta radialmente para fora do círculo de raio
.
Passo 4
No ponto
também
, então
e a curva de nível é novamente o círculo de raio
.
Calculamos
Calculamos
que aponta para a esquerda. As direções de decrescimento (vetores unitários
com
) podem ser, por exemplo,
Cada uma dessas tem produto escalar
, ou seja,
decresce nessas direções a partir de
.
Resposta
(a) As curvas de nível são círculos
.
(b) Em ,
, curva de nível círculo de raio
,
(b) Em
(c) Em
, mesma curva de nível (raio
),
e três direções de decrescimento são