Considere a sequência (xn) n in N^* definida pela seguinte fórmula de recorrência
l x1=1 e xn+2=2 xn+1+4^n, forall n in N^*
Determine o termo geral xn em funçāo de n.

Passo 1

O enunciado define a sequência l(xnr)ninN^* por
x1=1
e, para todo n>=1,
xn+2=2,xn+1+4^n
Queremos encontrar o termo geral xn. Trata-se de uma recorrência linear não homogênea de coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea
xn+2^(h)-2,xn+1^(h)=0
A equação característica é
r^2-2r=0
cuja raízes são r=0 e r=2. Logo a solução geral da parte homogênea, para n>=1, pode ser escrita como
xn^(h)=Ccdot2^n
pois o termo associado a r=0 vale zero para n>=1.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular da forma
xn^(p)=alpha,4^n
Substituindo na recorrência não homogênea obtemos
alpha,4^n+2-2,alpha,4^n+1=4^n
ou seja
alpha,4^nl(16-8r)=4^n
e daí
8alpha=1 Longrightarrow alpha=tfrac18
Portanto
xn^(p)=tfrac18,4^n

Passo 4

A solução geral da recorrência é a soma da parte homogênea com a particular:
xn=Ccdot2^n+tfrac18,4^n

Passo 5

Usamos a condição inicial x1=1:
x1=Ccdot2^1+tfrac18,4^1 ;Longrightarrow; 2C+tfrac12=1 ;Longrightarrow; C=tfrac14
Logo
xn=tfrac14,2^n+tfrac18,4^n

Resposta

xn=14cdot2^n+18cdot4^n

Exercícios relacionados