Resolva as equações diferenciais indicadas
y^prime-3 x^4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' - 3x^4y = 0
Este é um caso de equação linear homogênea (ou separável), pois pode ser escrita como
dydx = 3x^4y
Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral.

Passo 2

Reescrevendo em forma separável, dividimos ambos os lados por y (supondo yneq0) e por dx:
1y,dydx = 3x^4 Longrightarrow dyy = 3x^4,dx

Passo 3

Integramos os dois lados da igualdade:
integral dyy = integral 3x^4,dx
No lado esquerdo fica lnlvert yrvert e no direito
integral 3x^4,dx = 3cdotx^55 = 3x^55
Logo, temos
lnlvert yrvert = 3x^55 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, aplicamos a exponenciação:
lvert yrvert = e^3x^55 + C = e^C,e^3x^55
Chamando e^C de K (constante arbitrária real, podendo ser positiva ou negativa), obtemos
y(x) = K,e^3x^55

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = K,e^3x^55,
onde K é uma constante real.

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