Seja
a sequência de Fibonacci definida por
e
,
. Demonstre os seguintes itens:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na sequência de Fibonacci
com
e
, vale a fórmula de soma
O conteúdo principal aqui é prova por indução usando propriedades da recorrência de Fibonacci.
Passo 2
(Verificação da base
)
Para a soma do lado esquerdo é apenas
. Como
, temos
Para
Do lado direito,
Logo LHS
RHS, e a fórmula vale para
.
Passo 3
(Passo de indução)
Suponha que a fórmula seja válida para algum , ou seja,
Suponha que a fórmula seja válida para algum
Queremos mostrar que então vale também para
, isto é,
Passo 4
(Conclusão do passo de indução)
Pela hipótese de indução, a soma até é
. Assim a soma até
é
Pela hipótese de indução, a soma até
Queremos ver que isso é igual a
. Multiplicando por
e comparando, precisamos checar
Da definição de Fibonacci,
Logo
que é exatamente o numerador da soma dobrada. Isso fecha a indução.
Resposta
Portanto, por indução matemática, conclui-se que para todo