Seja Fn a sequência de Fibonacci definida por F1=F2=1 e Fn+2=Fn+1+Fn, n >= 1. Demonstre os seguintes itens:
F3+F6+F9+cdots+F3 n=F3 n+2-12.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na sequência de Fibonacci Fn com F1=F2=1 e Fn+2=Fn+1+Fn, vale a fórmula de soma
F3+F6+cdots+F3n ;=;F3n+2-12
O conteúdo principal aqui é prova por indução usando propriedades da recorrência de Fibonacci.

Passo 2

(Verificação da base n=1)
Para n=1 a soma do lado esquerdo é apenas F3. Como F3=F2+F1=1+1=2, temos
LHS=F3=2
Do lado direito,
RHS=F3cdot1+2-12=F5-12=5-12=2
Logo LHS = RHS, e a fórmula vale para n=1.

Passo 3

(Passo de indução)
Suponha que a fórmula seja válida para algum n>=1, ou seja,
F3+F6+cdots+F3n ;=;F3n+2-12
Queremos mostrar que então vale também para n+1, isto é,
F3+F6+cdots+F3n+F3(n+1) ;=;F3(n+1)+2-12

Passo 4

(Conclusão do passo de indução)
Pela hipótese de indução, a soma até 3n é tfracF3n+2-12. Assim a soma até 3(n+1) é
F3n+2-12 ;+; F3n+3
Queremos ver que isso é igual a tfracF3n+5-12. Multiplicando por 2 e comparando, precisamos checar
l(F3n+2-1r) + 2,F3n+3 ;=; F3n+5-1
Da definição de Fibonacci,
F3n+5 = F3n+4 + F3n+3 = l(F3n+3+F3n+2r) + F3n+3 = F3n+2 + 2,F3n+3
Logo
F3n+5-1 = l(F3n+2 + 2,F3n+3r) -1 = l(F3n+2-1r) + 2,F3n+3,
que é exatamente o numerador da soma dobrada. Isso fecha a indução.

Resposta

Portanto, por indução matemática, conclui-se que para todo n>=1
F3+F6+cdots+F3n ;=;F3n+2-12

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