Ache a solução geral das seguintes equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes:
x^prime prime+x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
x'' + x = 0
O conteúdo aqui é resolver equações lineares homogêneas de segunda ordem usando a equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo x(t)=e^rt. Substituindo em x''+x=0 obtemos a equação característica
r^2 + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo r^2+1=0 temos
r^2 = -1 Longrightarrow r = pm i,
ou seja, raízes complexas conjugadas com parte real zero e parte imaginária pm1.

Passo 4

Quando as raízes da característica são r=alphapm ibeta, a solução geral é
x(t)=e^alpha tl(C1cos(beta t)+C2sin(beta t)r)
Aqui alpha=0 e beta=1, logo
x(t)=C1cos(t)+C2sin(t),
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral é
x(t)=C1cos(t)+C2sin(t),
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Exercícios relacionados