Resolva as equações diferenciais indicadas
y^prime-7 y=e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 7y = e^x
Vamos usar o método do fator integrante, que é apropriado para resolver equações da forma
y' + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Identificamos P(x)=-7. O fator integrante mu(x) é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -7,dx = e^-7x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x):
e^-7xy' -7e^-7xy = e^-7xe^x = e^-6x
O lado esquerdo é a derivada do produto e^-7xy, ou seja,
ddxl(e^-7xyr) = e^-6x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^-7xy = integral e^-6x,dx = -tfrac16e^-6x + C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y:
y = e^7xl(-tfrac16e^-6x + Cr) = -tfrac16e^x + C,e^7x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = C,e^7x - tfrac16e^x,
onde C é uma constante arbitrária.

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