Exercício 1.10. Calcule a série de Fourier das seguintes funções:
.

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período
Queremos a série de Fourier em ):

Passo 2

Calcular a0. Primeiro quebramos a integral em [-L,0] e [0,L]:
integral-L^Lf(x),dx =integral-L^0(x+L),dx+integral0^LL,dx
Agora cada parte:
integral-L^0(x+L),dx =integral-L^0x,dx+integral-L^0L,dx =-L^22+L^2=L^22,
integral0^LL,dx =L^2
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integral-L^Lf(x),dx =L^22+L^2=3L^22,
a0=1Lcdot3L^22=3L2

Passo 3

Calcular an. Use
an=1Ll[integral-L^0(x+L)cosl(npi xLr),dx +integral0^LLcosl(npi xLr),dxr]
Chamando a=tfracnpiL, a conta dá
integral-L^0(x+L)cos(ax),dx =1-(-1)^na^2, integral0^LLcos(ax),dx=0
Portanto
an =1Lcdot1-(-1)^na^2 =1-(-1)^nLcdotL^2n^2pi^2 =Ll(1-(-1)^nr)n^2pi^2
Em particular an=0 se n é par e an=tfrac2Ln^2pi^2 se n é ímpar.

Passo 4

Calcular bn. Use
bn=1Ll[integral-L^0(x+L)sinl(npi xLr),dx +integral0^LLsinl(npi xLr),dxr]
Fazendo as integrais surge
bn =(-1)^n+1a =(-1)^n+1Lnpi

Passo 5

Montamos a série de Fourier:
f(x) =a02 +sumn=1^inftyl[ancosl(npi xLr) +bnsinl(npi xLr)r],
onde
a0=3L2, an=Ll(1-(-1)^nr)n^2pi^2, bn=(-1)^n+1Lnpi

Resposta

boxed f(x) =3L4 +sumn=1^inftygl[ Ll(1-(-1)^nr)n^2pi^2cosl(npi xLr) +(-1)^n+1Lnpisinl(npi xLr) gr]

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