(Valor: 2,0) Calcule a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva
x=y^3 ; 0 <= y <= 1
em torno do eixo O y.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: a curva é dada por
x = y^3, 0 <= y <= 1
e queremos a área da superfície obtida ao girar esse arco em torno do eixo Oy. O conteúdo usado é Revolução de curvas: para rotação em torno do eixo y, a área de superfície é
S = 2pi integrala^b x,ds
onde ds é o elemento de arco em função de y.

Passo 2

Determinar ds e montar o integral: como x=y^3, temos
dxdy = 3y^2
e
ds = raiz1 + l(dxdyr)^2,dy = raiz1 + 9y^4,dy
Logo a área é
S = 2pi integral0^1 x,ds = 2pi integral0^1 y^3 raiz1 + 9y^4,dy

Passo 3

Resolver o integral por substituição: seja
u = 1 + 9y^4 Longrightarrow du = 36y^3,dy ;Rightarrow; y^3,dy = du36
Quando y=0, u=1; quando y=1, u=10. Assim
integral0^1 y^3 raiz1 + 9y^4,dy = integral1^10 raizu36,du = 136integral1^10 u^1/2,du

Passo 4

Calcular o integral em u:
integral1^10 u^1/2,du = gl[23u^3/2gr]1^10 = 23l(10^3/2-1r)
Logo
integral0^1 y^3 raiz1 + 9y^4,dy = 136cdot23l(10^3/2-1r) = 154l(10^3/2-1r)
Multiplicando por 2pi, vem
S = 2pi cdot 154l(10^3/2-1r) = pi27l(10^3/2-1r)

Passo 5

Expressão final simplificada: como 10^3/2=10raiz10, concluímos
S = pi27l(10raiz10-1r)

Resposta

pi27l(10raiz10-1r)

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