Resolva as equações diferenciais indicadas
y^prime+3 x^2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + 3x^2,y = 0
Este é um caso simples de equação linear homogênea, mas também podemos encará-la como uma ODE de variáveis separáveis, pois pode ser escrita como
dydx = -3x^2,y

Passo 2

Vamos usar separação de variáveis. Dividindo ambos os lados por y (supondo yneq0) e por dx, obtemos
1y,dy = -3x^2,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral 1y,dy = integral -3x^2,dx
O lado esquerdo dá ln|y| e o direito dá -x^3, mais constante de integração C:
ln|y| = -x^3 + C

Passo 4

Para encontrar y, exponenciamos ambos os lados:
|y| = e^-x^3 + C = e^C,e^-x^3
Como e^C é uma constante positiva arbitrária, escrevemos C1 = pm e^C e obtemos
y = C1,e^-x^3,
onde C1 é uma constante real qualquer.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = C,e^-x^3,
com C constante de integração.

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