Seja Fn a sequência de Fibonacci definida por F1=F2=1 e Fn+2=Fn+1+Fn, n >= 1. Demonstre os seguintes itens:
F1^2+F2^2+cdots+Fn^2=Fn Fn+1.

Passo 1

O enunciado define a sequência de Fibonacci por
F1=F2=1, Fn+2=Fn+1+Fn(n>=1)
e pede para mostrar que a soma dos quadrados dos primeiros n termos satisfaz
sumi=1^nFi^2=FnFn+1
Para isso, vamos usar o princípio da indução finita.

Passo 2

(Caso base) Para n=1 temos
sumi=1^1Fi^2=F1^2=1
e
F1F2=1cdot1=1,
logo a identidade é válida para n=1.

Passo 3

(Passo de indução) Suponha que a fórmula valha para algum n=k, isto é,
sumi=1^kFi^2=FkFk+1
Precisamos mostrar que então vale para n=k+1. Escrevemos
sumi=1^k+1Fi^2 =l(sumi=1^kFi^2r)+Fk+1^2 =FkFk+1+Fk+1^2 =Fk+1l(Fk+Fk+1r)
Pela definição da sequência, Fk+Fk+1=Fk+2. Assim
sumi=1^k+1Fi^2 =Fk+1Fk+2,
mostrando que a fórmula vale para n=k+1.

Resposta

sumi=1^nFi^2=FnFn+1para todo n>=1

Exercícios relacionados