Seja
a sequência de Fibonacci definida por
e
,
. Demonstre os seguintes itens:
.
Passo 1
O enunciado define a sequência de Fibonacci por
e pede para mostrar que a soma dos quadrados dos primeiros
termos satisfaz
Para isso, vamos usar o princípio da indução finita.
Passo 2
(Caso base) Para
temos
e
logo a identidade é válida para
.
Passo 3
(Passo de indução) Suponha que a fórmula valha para algum
, isto é,
Precisamos mostrar que então vale para
. Escrevemos
Pela definição da sequência,
. Assim
mostrando que a fórmula vale para
.