Resolva o PVI (homogênea).
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial
com a condição inicial
Informações relevantes fornecidas:
A missão é encontrar a função
que satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma usual
para ver como proceder. Dividindo ambos os lados por
e por
(assumindo
e
onde necessário):
portanto
Observação:
e
são funções homogêneas de mesmo grau (grau 2), por isso é natural tentar a substituição
onde
é função de
. Essa substituição costuma simplificar equações homogêneas porque expressa
como múltiplo de
.
Passo 3
Aplico a substituição
. Primeiro calcule
em função de
e
:
Substituindo em
temos:
Simplificando os termos do lado direito:
Isolando
:
Agora escrevemos isso de forma separável:
Passo 4
Simplifico a integral do lado esquerdo. Note que
logo
Integramos ambos os lados:
A integral à esquerda é direta: faça
,
, então
A integral à direita é
. Assim:
Multiplicando por
:
Exponentiando ambos os lados (com
):
Passo 5
Voltando à variável original
, lembrando que
, temos:
Multiplicando por
:
Esta é a solução implícita geral. Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
:
Portanto a solução particular do PVI é
Podemos isolar
:
logo
Para determinar o sinal escolhemos a rama que satisfaz
. Quando
temos
, e
. Para obter
escolhemos o sinal negativo:
Note que a expressão só é real se
, ou seja
. O ponto inicial
está dentro desse domínio.