Resolva o PVI (homogênea).
\left(x^{2}+2 y^{2}\right) d x=x y d y ; y(-1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial
\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\,dx = x y\,dy
com a condição inicial
y(-1)=1.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Equação: }\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\,dx = x y\,dy.çã
\text{Condição inicial: }y(-1)=1.çã
A missão é encontrar a função y(x) que satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma usual \dfrac{dy}{dx} = \cdots para ver como proceder. Dividindo ambos os lados por dx e por x y (assumindo x\neq 0 e y\neq 0 onde necessário):
x^{2}+2y^{2} = x y\,\frac{dy}{dx}
portanto
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+2y^{2}}{x y} = \frac{x}{y} + 2\frac{y}{x}.
Observação: x^{2}+2y^{2} e x y são funções homogêneas de mesmo grau (grau 2), por isso é natural tentar a substituição
y = v x,
onde v é função de x. Essa substituição costuma simplificar equações homogêneas porque expressa y como múltiplo de x.

Passo 3

Aplico a substituição y = v x. Primeiro calcule \dfrac{dy}{dx} em função de v e x:
y = v x \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y} + 2\dfrac{y}{x} temos:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x}{v x} + 2\frac{v x}{x}.
Simplificando os termos do lado direito:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 2v.
Isolando x\frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 2v - v = \frac{1}{v} + v.
Agora escrevemos isso de forma separável:
\frac{dv}{\frac{1}{v}+v} = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Simplifico a integral do lado esquerdo. Note que
\frac{1}{v}+v = \frac{1+v^{2}}{v},
logo
\frac{dv}{\frac{1}{v}+v} = \frac{v\,dv}{1+v^{2}}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{v\,dv}{1+v^{2}} = \int \frac{dx}{x}.
A integral à esquerda é direta: faça u=1+v^{2}, du=2v\,dv, então
\int \frac{v\,dv}{1+v^{2}} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln(1+v^{2}).
A integral à direita é \ln|x| + C. Assim:
\frac{1}{2}\ln(1+v^{2}) = \ln|x| + C.
Multiplicando por 2:
\ln(1+v^{2}) = 2\ln|x| + C_{1}.
Exponentiando ambos os lados (com C=e^{C_{1}}>0):
1+v^{2} = C x^{2}.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembrando que v=\dfrac{y}{x}, temos:
1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2} = C x^{2}.
Multiplicando por x^{2}:
x^{2}+y^{2} = C x^{4}.
Esta é a solução implícita geral. Agora aplicamos a condição inicial y(-1)=1. Substituindo x=-1 e y=1:
(-1)^{2} + 1^{2} = C(-1)^{4} \quad\Rightarrow\quad 1+1 = C\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C=2.
Portanto a solução particular do PVI é
x^{2}+y^{2} = 2x^{4}.
Podemos isolar y:
y^{2} = 2x^{4}-x^{2} = x^{2}\bigl(2x^{2}-1\bigr),
logo
y = \pm x\sqrt{2x^{2}-1}.
Para determinar o sinal escolhemos a rama que satisfaz y(-1)=1. Quando x=-1 temos \sqrt{2(-1)^{2}-1}=\sqrt{1}=1, e x\sqrt{2x^{2}-1} = -1. Para obter y(-1)=1 escolhemos o sinal negativo:
y = -\,x\sqrt{2x^{2}-1}.
Note que a expressão só é real se 2x^{2}-1\ge 0, ou seja |x|\ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}. O ponto inicial x=-1 está dentro desse domínio.

Resposta

x^{2}+y^{2}=2x^{4}
y=-x\sqrt{2x^{2}-1},\quad |x|\ge \frac{1}{\sqrt{2}}

Exercícios relacionados