Resolva as equações diferenciais lineares não-homogêneas:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem:
Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação homogênea associada. Isso significa resolver a equação sem o termo não homogêneo (o lado direito):
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos achar as raízes da equação característica. Substituímos $ y = e^{k x} $ na equação homogênea:
Dividindo por $ e^{k x} $ (que nunca é zero):
Passo 4
Resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Encontramos uma raiz dupla $ k = 2 $.
Passo 5
Como a equação característica tem raízes iguais, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ da equação não homogênea:
Como o termo do lado direito é $ 8 e^{2 x} $, e observando que $ e^{2 x} $ já é parte da solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde $ A $ é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituímos $ y_p $ e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Os termos com $ x e^{2 x} $ se cancelam:
Dividindo ambos os lados por $ e^{2 x} $:
Resolvendo para $ A $:
Passo 8
Agora que encontramos $ A = -4 $, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Podemos simplificar agrupando os termos com $ x e^{2 x} $:
Como $ C_2 $ é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para $ C’_2 = C_2 - 4 $. Assim, a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.