Resolva as equações diferenciais lineares não-homogêneas:
d^2 yd x^2-4 d yd x+4 y=8 e^2 x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem:
d^2 yd x^2 - 4 d yd x + 4 y = 8 e^2 x
Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação homogênea associada. Isso significa resolver a equação sem o termo não homogêneo (o lado direito):
d^2 yd x^2 - 4 d yd x + 4 y = 0

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos achar as raízes da equação característica. Substituímos $ y = e^{k x} $ na equação homogênea:
y = e^k x
Dividindo por $ e^{k x} $ (que nunca é zero):
k^2 e^k x - 4 k e^k x + 4 e^k x = 0

Passo 4

Resolvemos a equação característica:
k^2 - 4 k + 4 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
k = 4 pm raiz(4)^2 - 4 cdot 1 cdot 42 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 162 = 4 pm 02 = 2
Encontramos uma raiz dupla $ k = 2 $.

Passo 5

Como a equação característica tem raízes iguais, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = (C1 + C2 x)e^2 x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ da equação não homogênea:
yp(x)
Como o termo do lado direito é $ 8 e^{2 x} $, e observando que $ e^{2 x} $ já é parte da solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
d^2 yd x^2 - 4 d yd x + 4 y = 8 e^2 x
onde $ A $ é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
Primeira derivada:
yp(x)
Segunda derivada:
d ypd x = A e^2 x + 2 A x e^2 x
Substituímos $ y_p $ e suas derivadas na equação diferencial:
d^2 ypd x^2 = 2 A e^2 x + 4 A x e^2 x
Simplificando:
yp
Os termos com $ x e^{2 x} $ se cancelam:
2 A e^2 x + 4 A x e^2 x - 4 (A e^2 x + 2 A x e^2 x) + 4 (A x e^2 x) = 8 e^2 x
2 A e^2 x + 4 A x e^2 x - 4 A e^2 x - 8 A x e^2 x + 4 A x e^2 x = 8 e^2 x
Dividindo ambos os lados por $ e^{2 x} $:
x e^2 x
Resolvendo para $ A $:
2 A e^2 x - 4 A e^2 x = 8 e^2 x

Passo 8

Agora que encontramos $ A = -4 $, a solução particular é:
A = -4

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = (C1 + C2 x) e^2 x - 4 x e^2 x
Podemos simplificar agrupando os termos com $ x e^{2 x} $:
x e^2 x
Como $ C_2 $ é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para $ C’_2 = C_2 - 4 $. Assim, a solução geral fica:
y(x) = C1 e^2 x + (C2 - 4) x e^2 x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^2 x + C2 x e^2 x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados