Resolva as equações diferenciais lineares não-homogêneas:
d^4 yd x^4-4 d^2 yd x^2=8 sen(4 x)

Passo 1

Estamos lidando com uma equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes e termo não homogêneo. A estratégia é: (1) achar a solução geral da parte homogênea usando a equação característica; (2) buscar uma solução particular por coeficientes indeterminados; (3) somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica associada a
r^4 - 4r^2 = 0
Fatorando, temos
r^2(r^2 - 4) = 0 implies r = 0 (duas vezes),; r = 2,; r = -2
Como 0 é raiz de multiplicidade 2 e 2, −2 são raízes simples, a solução homogênea é
yh(x) = C1 + C2 x + C3 e^2x + C4 e^-2x

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é 8,sin(4x) e as raízes imaginárias ±4i NÃO aparecem na solução homogênea, chutamos
yp(x) = Acos(4x) + Bsin(4x)
Calculamos as derivadas relevantes: usando yp'' = -16yp e yp'''' = 256yp.

Passo 4

Substituindo em y'''' - 4y'' = 8sin(4x) obtemos
256yp - 4(-16yp) = 320yp = 320l(Acos(4x)+Bsin(4x)r)
Igualando ao lado direito:
320A = 0, 320B = 8
Logo A = 0 e B = tfrac140, ou seja
yp(x) = 140sin(4x)

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^2x + C4 e^-2x + 140sin(4x)

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