Resolva as equaçôes diferenciais lineares homogêneas:
Passo 1
A questão pede resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes:
. Vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Montamos a equação característica associada substituindo
, obtendo:
Passo 3
Fatoramos a equação característica:
Isso dá a primeira raiz real
e as soluções da equação quadrática
.
Passo 4
Resolvendo a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
Então as raízes complexas são
.
Passo 5
Como temos uma raiz real
e um par de raízes complexas conjugadas
com
e
, a solução geral é:
Substituindo
e
:
Passo 6
Isso nos leva à solução geral:
Resposta
y(x) = C_{1} + e^{\tfrac{5}{2} x}\bigl(C_{2} \cos(\tfrac{\sqrt{3}}{2} x) + C_{3} \sin(\tfrac{\sqrt{3}}{2} x)\bigr)