Resolva as equaçôes diferenciais lineares homogêneas:
d^3 yd x^3-5 d^2 yd x^2+7 d yd x=0

Passo 1

A questão pede resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes: d^3 yd x^3 - 5 d^2 yd x^2 +7 d yd x = 0. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Montamos a equação característica associada substituindo y = e^r x, obtendo:
r^3 -5 r^2 +7 r = 0

Passo 3

Fatoramos a equação característica:
r (r^2 -5 r +7) = 0
Isso dá a primeira raiz real r1 = 0 e as soluções da equação quadrática r^2 -5r +7 = 0.

Passo 4

Resolvendo a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
r = 5 pm raiz25 -282 = 5 pm i raiz32
Então as raízes complexas são r2,3 = tfrac52 pm i tfracraiz32.

Passo 5

Como temos uma raiz real r1 = 0 e um par de raízes complexas conjugadas r = alpha pm i beta com alpha = tfrac52 e beta = tfracraiz32, a solução geral é:
y(x) = C1 e^0cdot x + e^alpha x l(C2 cos(beta x) + C3 sin(beta x)r)
Substituindo alpha e beta:

Passo 6

Isso nos leva à solução geral:
y(x) = C1 + e^52 xl(C2 cosl(tfracraiz32 xr) + C3 sinl(tfracraiz32 xr)r)

Resposta

y(x) = C_{1} + e^{\tfrac{5}{2} x}\bigl(C_{2} \cos(\tfrac{\sqrt{3}}{2} x) + C_{3} \sin(\tfrac{\sqrt{3}}{2} x)\bigr)

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