Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- Encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los como máximo local ou mínimo local. - Determinar os intervalos onde o gráfico é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
Informações dadas:
Passo 2
Vamos achar os pontos críticos: pontos críticos são valores de
em que a derivada primeira
é zero ou não existe. Aqui
é polinomial, então a derivada existe em todo lugar. Precisamos calcular
.
Regra que usarei (regra da potência): a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
Passo 3
Agora resolvemos
, ou seja:
Isto é uma equação quadrática. Vou usar a fórmula quadrática. Para uma quadrática
as raízes são
onde
. Calculo o discriminante:
Logo
e as raízes são
Portanto
Conclusão: os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para classificar esses pontos (máximo ou mínimo) uso o teste da segunda derivada: calcule
. A segunda derivada dá a taxa de variação da inclinação e indica concavidade.
Derivando
:
Passo 5
Aplico o teste da segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
Se
então
é côncava para cima ali e
é um mínimo local. Logo
é mínimo local.
- Para
:
Se
então
é côncava para baixo ali e
é um máximo local. Logo
é máximo local.
Passo 6
Calculo os valores da função nesses pontos (para que fique explícito o ponto no plano):
- Para
:
- Para
:
Colocando tudo sobre denominador
:
Portanto os pontos críticos no plano são
(máximo local) e
(mínimo local).
Passo 7
Agora faço a análise de concavidade e pontos de inflexão. A concavidade é dada pelo sinal de
.
Resolvo
para localizar possíveis pontos de inflexão:
- Se
então , logo é côncava para baixo em . - Se
então , logo é côncava para cima em .
Passo 8
Verifico o ponto de inflexão: em
a segunda derivada muda de sinal (de negativa para positiva), então há um ponto de inflexão. Calculo a ordenada:
Colocando em denominador
:
Logo o ponto de inflexão é
.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
— máximo local;
— mínimo local.
Concavidade: côncavo para baixo em ; côncavo para cima em
.
Ponto de inflexão: .
Concavidade: côncavo para baixo em
Ponto de inflexão: