Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo. Determine quais intervalos o gráfico de cada função é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x+1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Encontrar os pontos críticos da função f e classificá-los como máximo local ou mínimo local.
  2. Determinar os intervalos onde o gráfico é côncavo para baixo, côncavo para cima e os pontos de inflexão (se existirem).
Informações dadas:
f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+1.

Passo 2

Vamos achar os pontos críticos: pontos críticos são valores de x em que a derivada primeira \,f'(x)\, é zero ou não existe. Aqui f é polinomial, então a derivada existe em todo lugar. Precisamos calcular \,f'(x)\,.
Regra que usarei (regra da potência): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Aplicando termo a termo:
f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+1
\Rightarrow f'(x)=3x^{2}-4x+1.

Passo 3

Agora resolvemos \,f'(x)=0, ou seja:
3x^{2}-4x+1=0.
Isto é uma equação quadrática. Vou usar a fórmula quadrática. Para uma quadrática ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde \,a=3\,,\,b=-4\,,\,c=1. Calculo o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\cdot3\cdot1=16-12=4.
Logo \sqrt{\Delta}=2 e as raízes são
x=\frac{4\pm2}{6}.
Portanto
x=\frac{4+2}{6}=1\quad\text{ou}\quad x=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}.
Conclusão: os pontos críticos são x=\dfrac{1}{3} e x=1.

Passo 4

Para classificar esses pontos (máximo ou mínimo) uso o teste da segunda derivada: calcule \,f''(x)\,. A segunda derivada dá a taxa de variação da inclinação e indica concavidade.
Derivando f'(x)=3x^{2}-4x+1:
f''(x)=6x-4.

Passo 5

Aplico o teste da segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para x=1:
f''(1)=6\cdot1-4=6-4=2>0.
Se f''(x_c)>0 então f é côncava para cima ali e x_c é um mínimo local. Logo x=1 é mínimo local.
  • Para x=\dfrac{1}{3}:
f''\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=6\cdot\tfrac{1}{3}-4=2-4=-2<0.
Se f''(x_c)<0 então f é côncava para baixo ali e x_c é um máximo local. Logo x=\dfrac{1}{3} é máximo local.

Passo 6

Calculo os valores da função nesses pontos (para que fique explícito o ponto no plano):
  • Para x=1:
f(1)=1^{3}-2\cdot1^{2}+1+1=1-2+1+1=1.
  • Para x=\dfrac{1}{3}:
f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3}-2\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}+\tfrac{1}{3}+1 =\tfrac{1}{27}-2\cdot\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{3}+1.
Colocando tudo sobre denominador 27:
\tfrac{1}{27}-\tfrac{6}{27}+\tfrac{9}{27}+\tfrac{27}{27}=\tfrac{1-6+9+27}{27}=\tfrac{31}{27}.
Portanto os pontos críticos no plano são \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{31}{27}\right) (máximo local) e (1,1) (mínimo local).

Passo 7

Agora faço a análise de concavidade e pontos de inflexão. A concavidade é dada pelo sinal de \,f''(x)=6x-4.
Resolvo f''(x)=0 para localizar possíveis pontos de inflexão:
6x-4=0 \Rightarrow x=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
  • Se x<\tfrac{2}{3} então 6x-4<0, logo f é côncava para baixo em (-\infty,\tfrac{2}{3}).
  • Se x>\tfrac{2}{3} então 6x-4>0, logo f é côncava para cima em (\tfrac{2}{3},\infty).

Passo 8

Verifico o ponto de inflexão: em x=\tfrac{2}{3} a segunda derivada muda de sinal (de negativa para positiva), então há um ponto de inflexão. Calculo a ordenada:
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{3}-2\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}+\tfrac{2}{3}+1 =\tfrac{8}{27}-2\cdot\tfrac{4}{9}+\tfrac{2}{3}+1.
Colocando em denominador 27:
\tfrac{8}{27}-\tfrac{24}{27}+\tfrac{18}{27}+\tfrac{27}{27}=\tfrac{8-24+18+27}{27}=\tfrac{29}{27}.
Logo o ponto de inflexão é \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{29}{27}\right).

Resposta

Pontos críticos e classificação: \left(\dfrac{1}{3},\dfrac{31}{27}\right) — máximo local; (1,1) — mínimo local.
Concavidade: côncavo para baixo em (-\infty,\tfrac{2}{3}); côncavo para cima em (\tfrac{2}{3},\infty).
Ponto de inflexão: \left(\dfrac{2}{3},\dfrac{29}{27}\right).

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