Resolva as equações diferenciais lineares.
x^{2} y^{\prime}+x y=1
x^{2} y^{\prime}+x y=1
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para encontrar a função
que satisfaz essa equação. Observação imediata: a expressão envolve divisão por
quando formos manipular a equação, então devemos exigir
. A partir daqui queremos obter a solução geral
válida para
e
(com a mesma fórmula usando
).
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma a deixar o coeficiente de
igual a
, dividindo tudo por
(isso é permitido porque
):
Aqui temos uma equação onde aparecem
e
com coeficientes que dependem de
. Uma técnica padrão e eficiente para esse tipo de equação é multiplicar por um fator integrante que transforme o lado esquerdo em uma derivada de produto. Vou usar esse método porque é rápido e direto para equações lineares de primeira ordem.
Passo 3
Explicando o método do fator integrante (de forma prática e sem pular etapas):
- Considere uma equação na forma
- O objetivo é achar uma função
tal que, ao multiplicarmos a equação por , o lado esquerdo vire a derivada do produto . Ou seja, queremos
- Calculando
. Comparando com , vemos que precisamos ter , isto é
- Integrando, obtemos
Esse
é o fator integrante. Depois de multiplicar, podemos integrar ambos os lados facilmente porque o lado esquerdo será
.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: na equação
temos
e
. O fator integrante é
Para trabalhar de forma prática, podemos escolher
quando
e
quando
; usando a notação
e depois escrevendo
no resultado final é a forma mais limpa. Vou multiplicar por
(assumindo
), o que dá
Note que o lado esquerdo é precisamente a derivada do produto
, pois
Passo 5
Agora integramos os dois lados:
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
. Portanto
onde
é a constante de integração. Isolando
,
Essa é a solução geral válida para
. A presença de
garante que a fórmula vale tanto para
quanto para
.
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): a partir de
podemos derivar ambos os lados:
Multiplicando por
obtemos
, que é exatamente a equação original. Logo a solução está correta.
Passo 7
Comentário prático e motivacional: uma forma curta de lembrar esse tipo de problema na prova é: coloque na forma
, calcule
, multiplique e integre; aqui
e
faz tudo ficar bem simples. Dá para anotar esse passo a passo na folha de rascunho e aplicar rápido.