Resolva as equações diferenciais lineares.
x^{2} y^{\prime}+x y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}y'+xy=1
e pede para encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação. Observação imediata: a expressão envolve divisão por x quando formos manipular a equação, então devemos exigir x\neq 0. A partir daqui queremos obter a solução geral y(x) válida para x>0 e x<0 (com a mesma fórmula usando \ln|x|).

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma a deixar o coeficiente de y' igual a 1, dividindo tudo por x^{2} (isso é permitido porque x\neq 0):
y' + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x^{2}}.
Aqui temos uma equação onde aparecem y' e y com coeficientes que dependem de x. Uma técnica padrão e eficiente para esse tipo de equação é multiplicar por um fator integrante que transforme o lado esquerdo em uma derivada de produto. Vou usar esse método porque é rápido e direto para equações lineares de primeira ordem.

Passo 3

Explicando o método do fator integrante (de forma prática e sem pular etapas):
  • Considere uma equação na forma
y' + p(x)\,y = q(x).
  • O objetivo é achar uma função \mu(x) tal que, ao multiplicarmos a equação por \mu(x), o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)y. Ou seja, queremos
\mu(x)y' + \mu(x)p(x)y = (\mu(x)y)'.
  • Calculando (\mu y)' = \mu'y + \mu y'. Comparando com \mu y' + \mu p y, vemos que precisamos ter \mu' = \mu p, isto é
\frac{\mu'}{\mu} = p(x).
  • Integrando, obtemos
\ln|\mu(x)| = \int p(x)\,dx \quad\Rightarrow\quad \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Esse \mu(x) é o fator integrante. Depois de multiplicar, podemos integrar ambos os lados facilmente porque o lado esquerdo será (\mu y)'.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: na equação
y' + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x^{2}}
temos p(x)=\dfrac{1}{x} e q(x)=\dfrac{1}{x^{2}}. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int \frac{1}{x}\,dx}=e^{\ln|x|}=|x|.
Para trabalhar de forma prática, podemos escolher \mu(x)=x quando x>0 e \mu(x)=-x quando x<0; usando a notação |x| e depois escrevendo \ln|x| no resultado final é a forma mais limpa. Vou multiplicar por x (assumindo x\neq 0), o que dá
x y' + y = \frac{1}{x}.
Note que o lado esquerdo é precisamente a derivada do produto x y, pois
(xy)' = x y' + y.

Passo 5

Agora integramos os dois lados:
(xy)' = \frac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad \int (xy)'\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é xy e a do lado direito é \ln|x| + C. Portanto
x y = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Isolando y,
y(x)=\frac{\ln|x|}{x} + \frac{C}{x}.
Essa é a solução geral válida para x\neq 0. A presença de \ln|x| garante que a fórmula vale tanto para x>0 quanto para x<0.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): a partir de x y = \ln|x| + C podemos derivar ambos os lados:
(xy)' = y + x y' = \frac{d}{dx}\big(\ln|x| + C\big) = \frac{1}{x}.
Multiplicando por x obtemos x^{2}y' + xy = 1, que é exatamente a equação original. Logo a solução está correta.

Passo 7

Comentário prático e motivacional: uma forma curta de lembrar esse tipo de problema na prova é: coloque na forma y'+p(x)y=q(x), calcule \mu=e^{\int p}, multiplique e integre; aqui p(x)=1/x e \int p=\ln|x| faz tudo ficar bem simples. Dá para anotar esse passo a passo na folha de rascunho e aplicar rápido.

Resposta

y(x)=\frac{\ln|x|}{x}+\frac{C}{x}

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