Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
x^{3} \frac{d y}{d x}+4 x^{2} y=e^{-x}, y(-1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaça essa condição:
x^{3}\frac{dy}{dx}+4x^{2}y=e^{-x},\qquad y(-1)=0.
Informações importantes que o enunciado fornece:
\text{(i) A equação: }x^{3}\frac{dy}{dx}+4x^{2}y=e^{-x}.çã
\text{(ii) A condição inicial: }y(-1)=0.çã
Observação prática: a equação tem termos com potências de x no denominador se dividirmos por x^{3}, então devemos ter x\neq0. Como a condição inicial é em x=-1, vamos trabalhar no intervalo onde x é diferente de zero (por exemplo, x<0).

Passo 2

Transformar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Dividindo toda a equação original por x^{3} (válido para x\neq0) obtemos:
\frac{dy}{dx}+\frac{4}{x}y = x^{-3}e^{-x}.
Aqui identificamos
P(x)=\frac{4}{x},\qquad Q(x)=x^{-3}e^{-x}.

Passo 3

Explicar o método do fator integrante de forma didática:
  • Para resolver \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) usamos um fator integrante \mu(x) que transforma o lado esquerdo num produto cuja derivada é simples:
\mu(x)\left(\frac{dy}{dx}+P(x)y\right)=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
  • A condição que garante isso é
\mu'(x)=\mu(x)P(x),
ou seja
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x).
  • Integrando ambos os lados temos
\ln|\mu(x)|=\int P(x)\,dx + \text{constante},
mas podemos escolher a constante igual a zero (absorvida em \mu). Assim o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Essa \mu(x) multiplicada na equação original permite escrever o lado esquerdo como \frac{d}{dx}(\mu y) e então integrar ambos os lados.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Usamos P(x)=\dfrac{4}{x}:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{4}{x}\,dx\Big)=\exp(4\ln|x|).
Usando a identidade \exp(4\ln|x|)=|x|^{4} e lembrando que trabalhamos com x\neq0 (e a condição inicial está em x=-1, portanto podemos tomar x<0), podemos tomar simplesmente
\mu(x)=x^{4},
porque x^{4}=|x|^{4} de qualquer forma (é positivo).

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=x^{4}. A equação \frac{dy}{dx}+\frac{4}{x}y=x^{-3}e^{-x} multiplicada por x^{4} dá:
x^{4}\frac{dy}{dx}+4x^{3}y = x^{4}\cdot x^{-3}e^{-x} = x e^{-x}.
Pelo motivo do Passo 3, o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)y=x^{4}y, isto é:
\frac{d}{dx}\big(x^{4}y\big)=x e^{-x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
x^{4}y = \int x e^{-x}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral \int x e^{-x}\,dx.

Passo 7

Calcular \int x e^{-x}\,dx por partes (fórmula: \int u\,dv = uv - \int v\,du). Escolhemos u=x e dv=e^{-x}dx. Então du=dx e v=-e^{-x}. Aplicando:
\int x e^{-x}\,dx = uv - \int v\,du = -x e^{-x} - \int (-e^{-x})\,dx.
Simplificando a integral restante:
- \int (-e^{-x})\,dx = +\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Portanto
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + \text{constante} = -(x+1)e^{-x} + \text{constante}.

Passo 8

Substituindo a integral encontrada em x^{4}y = \int x e^{-x}\,dx + C obtemos (absorvendo constantes adequadamente):
x^{4}y = -(x+1)e^{-x} + C.
Isolando y:
y = -\frac{(x+1)}{x^{4}}e^{-x} + C x^{-4}.

Passo 9

Aplicar a condição inicial y(-1)=0 para determinar C. Substituindo x=-1 na expressão de y:
0 = y(-1) = -\frac{(-1+1)}{(-1)^{4}}e^{-(-1)} + C(-1)^{-4}.
Calcular cada termo: (-1+1)=0 e (-1)^{-4}=1. Assim a primeira parcela é zero, restando
0 = 0 + C\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C=0.

Passo 10

Com C=0 a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x) = -\frac{(x+1)}{x^{4}}\,e^{-x}.
Lembrando que esta solução é válida para x\neq0; como a condição inicial está em x=-1, a solução vale no intervalo que contém -1 e não contém 0 (por exemplo, para x<0).

Resposta

y(x)=-\dfrac{(x+1)}{x^{4}}\,e^{-x}

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