Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaça essa condição:
Informações importantes que o enunciado fornece:
Observação prática: a equação tem termos com potências de
no denominador se dividirmos por
, então devemos ter
. Como a condição inicial é em
, vamos trabalhar no intervalo onde
é diferente de zero (por exemplo,
).
Passo 2
Transformar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
Dividindo toda a equação original por
(válido para
) obtemos:
Aqui identificamos
Passo 3
Explicar o método do fator integrante de forma didática:
- Para resolver
usamos um fator integrante que transforma o lado esquerdo num produto cuja derivada é simples:
- A condição que garante isso é
ou seja
- Integrando ambos os lados temos
mas podemos escolher a constante igual a zero (absorvida em
). Assim o fator integrante é
Essa
multiplicada na equação original permite escrever o lado esquerdo como
e então integrar ambos os lados.
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Usamos
:
Usando a identidade
e lembrando que trabalhamos com
(e a condição inicial está em
, portanto podemos tomar
), podemos tomar simplesmente
porque
de qualquer forma (é positivo).
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
. A equação
multiplicada por
dá:
Pelo motivo do Passo 3, o lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é:
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
.
Passo 7
Calcular
por partes (fórmula:
). Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
Simplificando a integral restante:
Portanto
Passo 8
Substituindo a integral encontrada em
obtemos (absorvendo constantes adequadamente):
Isolando
:
Passo 9
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na expressão de
:
Calcular cada termo:
e
. Assim a primeira parcela é zero, restando
Passo 10
Com
a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Lembrando que esta solução é válida para
; como a condição inicial está em
, a solução vale no intervalo que contém
e não contém
(por exemplo, para
).