Use séries de potências para determinar as soluções y(x) dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
y^prime+3 x y=5 x e^x^2 onde y(0)=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
y^prime + 3x y = 5x e^x^2
com a condição inicial . O objetivo é encontrar a solução dessa equação usando séries de potências. Para isso, vamos precisar conhecer como representar funções como séries e como manipular essas séries dentro de uma equação diferencial.

Passo 2

Vamos assumir que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências em torno de y^prime(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar. Também precisamos da derivada de :

Passo 3

Agora, substituímos sumn=1^infty n an x^n-1 + 3x sumn=0^infty an x^n = 5x e^x^2 e sumn=1^infty n an x^n-1 + sumn=0^infty 3 an x^n+1 = 5x e^x^2 na equação diferencial original:
Para facilitar, vamos reescrever os termos:

Passo 4

Precisamos também expressar o lado direito da equação, e^x^2 = sumn=0^infty x^2nn! , como uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para 5x e^x^2 = 5x sumn=0^infty x^2nn! = sumn=0^infty 5n! x^2n+1 é:
Portanto,

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de sumn=1^infty n an x^n-1 = sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n de ambos os lados da equação. Primeiro, ajustamos os índices para que as potências de sumn=0^infty 3 an x^n+1 = sumn=1^infty 3 an-1 x^n correspondam:
Para o primeiro somatório:
sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n + sumn=1^infty 3 an-1 x^n = sumn=0^infty 5n! x^2n+1
Para o segundo somatório:
Então, a equação fica:

Passo 6

Igualamos os coeficientes de (0+1) a1 + 0 = a1 de ambos os lados. Para (n+1) an+1 + 3 an-1 :
Para o lado esquerdo:
  • Quando (n+1) an+1 + 3 an-1 = 5( n-12 )! & se n é ímpar 0 & se n é par :
  • Para :
Para o lado direito, apenas termos onde , ou seja, impar.
Portanto, para cada :
éíé

Passo 7

Usamos a condição inicial y(0) = a0 = 1 para encontrar an+1 = 1n+1 ( de:
Agora, vamos encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes :
Para :
í
Onde í é 1 se é ímpar e 0 se é par.

Passo 8

Calculamos os primeiros coeficientes usando a relação de recorrência:
  • Para a1 = 11 ( 0 - 3 a-1 ) :
    a1 = 0
    Como a2 = 12 ( 50! - 3 a0 ) = 12 (5 - 3 cdot 1) = 12 cdot 2 = 1 (não existe termo com índice negativo):
    a3 = 13 ( 0 - 3 a1 ) = 13 (0 - 0) = 0
  • Para a4 = 14 ( 51! - 3 a2 ) = 14 (5 - 3 cdot 1) = 14 cdot 2 = 0.5 :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 9

Com os coeficientes calculados, podemos escrever a solução aproximada de y(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + dots :
y(x) = 1 + 0 cdot x + 1 cdot x^2 + 0 cdot x^3 + 0.5 x^4 + dots
Substituindo os valores:

Resposta

A solução y(x) = 1 + x^2 + 12x^4 + dots da equação diferencial dada, utilizando séries de potências, é:

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