Use séries de potências para determinar as soluções
dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
onde
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial
. O objetivo é encontrar a solução
dessa equação usando séries de potências. Para isso, vamos precisar conhecer como representar funções como séries e como manipular essas séries dentro de uma equação diferencial.
Passo 2
Vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar. Também precisamos da derivada de
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação diferencial original:
Para facilitar, vamos reescrever os termos:
Passo 4
Precisamos também expressar o lado direito da equação,
, como uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para
é:
Portanto,
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de
de ambos os lados da equação. Primeiro, ajustamos os índices para que as potências de
correspondam:
Para o primeiro somatório:
Para o segundo somatório:
Então, a equação fica:
Passo 6
Igualamos os coeficientes de
de ambos os lados. Para
:
Para o lado esquerdo:
-
Quando
: -
Para
:
Para o lado direito, apenas termos onde
, ou seja,
impar.
Portanto, para cada
:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Agora, vamos encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
:
Para
:
Onde
é 1 se
é ímpar e 0 se
é par.
Passo 8
Calculamos os primeiros coeficientes usando a relação de recorrência:
-
Para
: Como(não existe termo com índice negativo): -
Para
: -
Para
: -
Para
:
E assim por diante.
Passo 9
Com os coeficientes calculados, podemos escrever a solução aproximada de
:
Substituindo os valores:
Resposta
A solução
da equação diferencial dada, utilizando séries de potências, é: