Se uma curva C for dada pelas equações paramétricas x=x(t), y=y(t) e z=z(t), com a <= t <= b, então a integral da função escalar f(x, y, z) sobre a curva C pode ser determinada por
integralc f(x, y, z) d s=integrala^b f(x(t), y(t), z(t)) cdot raiz(x^prime(t))^2+(y^prime(t))^2+(z^prime(t))^2 d t
Determine a integral de linha da função f(x, y, z)=x^2+3 y-z^3 sobre a curva C dada pelas equações paramétricas
C:l x=3 t y=-5 t com 0 <= t <= 2 z=t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha da função $ f(x, y, z) = x^2 + 3y - z^3 $ sobre uma curva $ C $ definida por equações paramétricas. O que a gente vai precisar aqui é entender um pouco sobre integrais de linha no espaço tridimensional e como usar as equações paramétricas para transformar essa integral em uma integral comum que podemos calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas da curva $ C $:
C
Essas equações nos dizem como $ x $, $ y $ e $ z $ variam em função do parâmetro $ t $ dentro do intervalo de $ t = 0 $ a $ t = 2 $.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões de $ x $, $ y $ e $ z $ na função $ f(x, y, z) $:
x
Vamos simplificar isso:
y

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a derivada de cada função paramétrica em relação a $ t $:
t
x'(t) = ddt(3t) = 3
y'(t) = ddt(-5t) = -5
Agora, vamos calcular a expressão dentro da raiz na fórmula da integral de linha:
z'(t) = ddt(t) = 1

Passo 5

Com tudo isso, podemos montar a integral de linha usando os limites de $ t $ de 0 a 2:
t

Passo 6

Vamos resolver a integral:
raiz35 integral0^2 (9t^2 - 15t - t^3) , dt = raiz35 [ 9t^33 - 15t^22 - t^44 ]0^2
Simplificando:
raiz35 [ 3t^3 - 152t^2 - 14t^4 ]0^2
Agora, avaliamos de $ t = 0 $ a $ t = 2 $:
Para $ t = 2 $:
t = 0
Para $ t = 0 $:
t = 2
Então:
t = 2

Resposta

A integral de linha da função $ f(x, y, z) = x^2 + 3y - z^3 $ sobre a curva $ C $ é igual a $ -10\sqrt{35} $.

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