Se uma curva
for dada pelas equações paramétricas
, então a integral da função escalar
sobre a curva
pode ser determinada por
Determine a integral de linha da função
sobre a curva
dada pelas equações paramétricas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha da função $ f(x, y, z) = x^2 + 3y - z^3 $ sobre uma curva $ C $ definida por equações paramétricas. O que a gente vai precisar aqui é entender um pouco sobre integrais de linha no espaço tridimensional e como usar as equações paramétricas para transformar essa integral em uma integral comum que podemos calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas da curva $ C $:
Essas equações nos dizem como $ x $, $ y $ e $ z $ variam em função do parâmetro $ t $ dentro do intervalo de $ t = 0 $ a $ t = 2 $.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões de $ x $, $ y $ e $ z $ na função $ f(x, y, z) $:
Vamos simplificar isso:
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular a derivada de cada função paramétrica em relação a $ t $:
Agora, vamos calcular a expressão dentro da raiz na fórmula da integral de linha:
Passo 5
Com tudo isso, podemos montar a integral de linha usando os limites de $ t $ de 0 a 2:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Simplificando:
Agora, avaliamos de $ t = 0 $ a $ t = 2 $:
Para $ t = 2 $:
Para $ t = 0 $:
Então:
Resposta
A integral de linha da função $ f(x, y, z) = x^2 + 3y - z^3 $ sobre a curva $ C $ é igual a $ -10\sqrt{35} $.